Вписанная в треугольник окружность — окружность внутри треугольника, касающаяся всех его сторон; наибольшая окружность, которая может находиться внутри треугольника. Центр этой окружности является точкой пересечения биссектрис треугольника и называется инцентром треугольника.

Вневписанная окружность треугольника — окружность, лежащая вне треугольника и касающаяся одной стороны треугольника и . Любой треугольник имеет три различные вневписанные окружности, каждая из которых касается своей стороны треугольника. Центром вневписанной окружности является пересечение биссектрисы одного и биссектрис двух других . Поскольку биссектриса внутреннего угла перпендикулярна биссектрисе смежного внешнего угла, центр вписанной окружности вместе с тремя центрами вневписанных окружностей образуют .

Не все многоугольники с числом сторон более трёх имеют вписанную окружность. Те, которые имеют, называются описанными.

Связь с площадью треугольника Радиусы вписанных и вневписанных окружностей имеют тесную связь с площадью треугольника.

Вписанная окружность

Пусть имеет вписанную окружность радиуса с центром Пусть  — длина  — длина а  — длина

Пусть вписанная окружность касается в некоторой точке тогда является прямым и радиус будет высотой треугольника .

Таким образом, имеет основание длины и высоту а следовательно, его площадь равна .

Подобным же образом имеет площадь и имеет площадь .

Поскольку эти три треугольника составляют , получаем, что:

где  — площадь ,  — его полупериметр.

Чтобы получить альтернативную формулу, рассмотрим . Это прямоугольный треугольник, у которого один из катетов равен а другой равен .

То же самое верно для . Весь треугольник состоит из 6 таких треугольников, и общая площадь составляет:

Вневписанные окружности Пусть вневписанная окружность, касающаяся стороны AB, касается продолжения стороны AC в точке G, и пусть радиус этой окружности равен , а её центр — . Тогда является высотой треугольника , так что имеет площадь . По тем же причинам

имеет площадь , а имеет площадь . Тогда

.

Таким образом, ввиду симметрии,

.

По теореме косинусов получаем

Комбинируя это с тождеством , получим

Но , так что

и это формула Герона вычисления площади треугольника по его сторонам.

Комбинируя формулу Герона с , получим

.

Аналогично, даёт

.

Из этих формул видно, что вневписанные окружности всегда больше вписанной и наибольшая окружность соответствует самой длинной стороне, а самая наименьшая из вневписанных окружностей соответствует самой маленькой стороне. Дальнейшее комбинирование формул приводит к:. См. также часть 2 в томе. 2(1), Сентябрь 1885, 11-18.)

Отношение площади вписанной окружности к площади треугольника меньше или равно , и равенство достигается только на правильных треугольниках.

Связанные построения

Окружность девяти точек и точка Фейербаха Теорема Эйлера об окружности Эйлера. Середины отрезков высот от ортоцентра до вершин треугольника называются точками Эйлера. Основания медиан, основания высот и точки Эйлера лежат на одной окружности, называемой окружностью девяти точек.

Теорема Фейербаха. Окружность девяти точек касается всех трёх вневписанных окружностей, а также вписанной окружности в четырёх разных точках. Одна из них - точка касания окружности Эйлера и вписанной окружности известна как точка Фейербаха.

Треугольник и точка Жергонна

Треугольник Жергонна (для треугольника ABC) определяется тремя точками касания вписанной окружности на трёх сторонах. Эти вершины обозначим TA, и т. д.. Точка TA лежит напротив вершины A.

Этот треугольник Жергонна TATBTC известен также как треугольник касаний треугольника ABC.

Три прямые ATA, BTB и CTC пересекаются в одной точке — точке Жергонна и обозначается Ge — X(7). Точка Жергонна лежит внутри открытого с выколотым центром.

Интересно, что точка Жергонна треугольника является точкой пересечения симедиан треугольника Жергонна. Полный набор свойств точки Жергонна можно найти в статье Декова.

Трилинейные координаты вершин треугольника касаний задаются формулами вершина вершина вершина

Трилинейные координаты точки Жергонна ,

или, эквивалентно, по теореме синусов, . Точка Жергонна является изотомическим сопряжением точки Нагеля.

Треугольник и точка Нагеля Треугольник Нагеля (см. рис. выше) для треугольника ABC определяется вершинами TA, TB и TC, которые являются точками касания вневписанных окружностей треугольника ABC и точка XA противоположна стороне A, и т. д. Описанная вокруг треугольника TATBTC окружность называется окружностью Мандарта (частный случай эллипса Мандарта). Три прямые ATA, BTB и CTC делят периметр пополам и пересекаются в одной точке Нагеля Na — X(8).

Трилинейные координаты точек касания треугольника вневписанными окружностями задаются формулами вершина вершина вершина

Трилинейные координаты точки Нагеля задаются формулами ,

или, эквивалентно, по теореме синусов, .

Точка Нагеля является изотомическим сопряжением точки Жергонна.

Трилинейные координаты вписанных треугольников Трилинейные координаты вершин треугольника, образованного основаниями биссектрис, задаются формулами вершина вершина вершина

Трилинейные координаты треугольника, образованного точками касания сторон внеописанными окружностями, задаются формулами вершина вершина вершина

Уравнения окружностей Пусть x : y : z — координаты точки в трилинейных координатах, и пусть u = cos2(A/2), v = cos2(B/2), w = cos2(C/2). Четыре окружности, описанные выше, можно задать любым из двух указанных способов: Вписанная окружность:

A-внешневписанная:

B-внешневписанная:

C-внешневписанная:

Другие свойства вписанной окружности

Некоторые формулы с радиусом вписанной окружности ,  — полупериметр треугольника (Теорема котангенсов).

Радиус вписанной окружности не больше одной девятой суммы высот треугольника.

Неравенство Эйлера: радиус вписанной окружности не превосходит половины радиуса описанной окружности и равенство имеет место лишь для равностороннего треугольника.

Предположим, что точки касания вписанной окружности делят стороны на отрезки длиной x и y, y и z, z и x. Тогда вписанная окружность имеет радиус

и площадь треугольника равна

Если высоты, опущенные на стороны a, b и c есть ha, hb и hc, то радиус вписанной окружности r равен одной трети гармонического среднего этих высот, то есть

Произведение радиуса вписанной окружности r и радиуса описанной окружности R треугольника со сторонами a, b и c равно

Некоторые связи сторон, радиусов вписанной окружности и описанной окружностей:

Любая прямая, проходящая через треугольник и делящая площадь треугольника и периметр пополам, проходит через центр вписанной окружности. Таких прямых может существовать три, две или одна.

Перпендикуляры, восставленные к сторонам треугольника в точках касания вневписанных окружностей, пересекаются в одной точке. Эта точка симметрична центру вписанной окружности относительно центра описанной окружности.

Формулы для расстояний до центра вписанной или вневписанной окружностей

Теорема Эйлера Теорема Эйлера утверждает, что в треугольнике:

где R и rin являются радиусами описанной и вписанной окружностей соответственно, а d — расстояние между центрами этих окружностей.

Для вневписанных окружностей уравнение выглядит похоже:

где rex — радиус одной из вневписанных окружностей, а d — расстояние между центрами описанной и вневписанной окружностей

Возводя в квадрат и приводя подобные из первой формулы Эйлера выше имеем: Квадрат расстояния от центра вписанной окружности I до центра описанной O задаётся уравнением.

Аналогично для второй формулы:

Другие формулы для расстояний до центра вписанной или вневписанной окружностей Расстояние от центра вписанной окружности до центра N окружности девяти точек равно

Расстояние от вершины до точек касания вписанной окружности на прилегающих сторонах равно полусумме длин прилегающих сторон минус половина противолежащей стороныMathematical Gazette, July 2003, 323—324.. Так, для вершины B и прилежащих точек касания TA и TC,

Если обозначить центр вписанной окружности треугольника ABC буквой I, мы получим

и

Если обозначить за I центр вписанной окружности треугольника ABC, AD — биссектриса угла A, то Центр вписанной окружности лежит в треугольнике, вершины которого являются серединами сторон треугольника. Теорема о трезубце или теорема трилистника, или теорема Клайнэра: Если D — точка пересечения биссектрисы угла A с описанной окружностью треугольника ABC, I и J — соответственно центры вписанной и вневписанной окружности, касающейся стороны BC, тогда .

Теорема Мансиона (составная часть Теоремы о трезубце). Середины трёх отрезков, соединяющих центр вписанной окружности с центрами вневписанных окружностей лежат на описанной окружности.

Теорема Харкорта. Пусть треугольник задан своими вершинами A, B и C, противоположные вершинам стороны имеют длины a, b и c, площадь равна K и прямая касается вписанной в треугольник окружности в произвольной точке. Обозначим расстояния от вершин треугольника до прямой через a ', b ' и c ', при этом, если вершина и центр окружности лежат по разные стороны от прямой, расстояние считается отрицательным. Тогда

.

Другие свойства вневписанных окружностей Следующее отношение выполняется для радиуса r вписанной окружности, радиуса R описанной окружности, полупериметра s и радиусов вневписанных окружностей ra, rb, rc:

Окружность, проходящая через центры вневписанных окружностей, имеет радиус 2R.

Если H — ортоцентр треугольника ABC, то

Вершины A, B и C треугольника ABC являются основаниями высот треугольника JAJB,JC, где JAJB,JC — центры вневписанных окружностей.

Перпендикуляры, восставленные к сторонам треугольника в точках касания вневписанных окружностей, пересекаются в одной точке. Эта точка симметрична центру вписанной окружности относительно центра описанной окружности. Центр Шпикера треугольника является радикальным центром его вневписанных окружностей. Если из центра Шпикера треугольника провести 6 касательных к 3 вневписанным окружностям треугольника, то все их длины будут равны между собой.

Окружность Аполлония

Определение окружности Аполлония

Пусть дан треугольник ABC. Пусть вневписанные окружности треугольника ABC, противоположные вершинам A, B и C, есть соответственно EA, EB, EC (см. рисунок). Тогда окружность Аполлония E (на рис. справа показана зеленым цветом) касается внутренним образом сразу трех вневписанных окружностей треугольника ABC в точках соответственно EA, EB и EC (см. рисунок).

Радиус окружности Аполлония Радиус окружности Аполлония равен , где r — радиус вписанной окружности и s — полупериметр треугольника.

Определение точки Аполлония Ap Точка Аполлония Ap в Энциклопедии центров треугольника у Кларка Кимберлинга (Encyclopedia of Triangle Centers (ETC)) именуется как центр треугольника под именем X(181). Точка Аполлония Ap или X(181) определяется следующим образом: Пусть A' , B' и C' есть точки касания окружности Аполлония E с соответствтвующими вневписанными окружностями. Тогда прямые AA' , BB' и CC' пересекаются в одной точке Ap, которую называют точкой Аполлония треугольника ABC.

Изогональное сопряжение Изогональное сопряжение имеет ровно четыре неподвижные точки (то есть точки, которые сопряжены самим себе): центр вписанной окружности и центры вневписанных окружностей треугольника.

Ортоцентр треугольника изогонально сопряжён центру описанной окружности этого треугольника.

Обобщение на другие многоугольники Некоторые (но не все) четырёхугольники имеют вписанную окружность. Они называются описанными четырёхугольниками. Среди свойств этих четырёхугольников наиболее важным является то, что суммы противоположных сторон равны. Это утверждение называется теоремой Пито. Некоторые (но не все) четырёхугольники имеют вневписанную окружность. Они называются внеописанными четырёхугольниками. Среди свойств этих четырёхугольников наиболее важное свойство отмечает теорема Уркхарта. Она утверждает: