Вписанный четырёхугольник — это четырёхугольник, вершины которого лежат на одной окружности. Эта окружность называется описанной. Обычно предполагается, что четырёхугольник выпуклый, но бывают и самопересекающиеся вписанные четырёхугольники. Формулы и свойства, данные ниже, верны только для выпуклых четырёхугольников.
Все треугольники имеют описанные окружности, но не все четырёхугольники. Примером четырёхугольника, который нельзя вписать в окружность, может служить ромб (если только он не является квадратом). Секция «Свойства» ниже даёт необходимые и достаточные условия, чтобы вокруг четырёхугольника можно было описать окружность.
Специальные случаи Любые квадраты, прямоугольники, равнобедренные трапеции или антипараллелограммы можно вписать в окружность. Дельтоид можно вписать в том и только в том случае, когда у него два угла прямые. — это вписанный четырёхугольник, который также является и описанным, а внешне бицентричный четырёхугольник — это вписанный четырёхугольник, который является также .
Свойства Первый критерий вписанности четырёхугольника. Выпуклый невырожденный четырёхугольник является вписанным тогда и только тогда, когда четыре серединных перпендикуляра, проведённых к каждой из сторон, пересекаются в одной точке. Второй критерий вписанности четырёхугольника. Выпуклый четырёхугольник является вписанным тогда и только тогда, когда противоположные углы в сумме дают 180°, то есть.
Другой вариант первого критерия вписанности четырёхугольника. Теорема была Предложением 22 в книге 3 Евклида Начала. Эквивалентно, выпуклый четырёхугольник является вписанным тогда и только тогда, когда смежный угол равен противоположному внутреннему углу. Третий критерий вписанности четырёхугольника. Около четырёхугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда любая пара его противоположных сторон антипараллельна. Четвертый критерий вписанности четырёхугольника. Другой критерий для того, чтобы выпуклый четырёхугольник был вписанным, требует, чтобы угол между стороной и диагональю был равен углу между противоположной стороной и другой диагональю. Например,
Пятый критерий вписанности четырёхугольника. Неравенство Птолемея утверждает, что произведение длин двух диагоналей p и q четырёхугольника равно сумме произведений противоположных сторон, только если четырёхугольник вписан:
Шестой критерий вписанности четырёхугольника. Если две прямые, из которых одна содержит отрезок AC, а другая — отрезок BD, пересекаются в точке E, то четыре точки A, B, C, D лежат на окружности тогда и только тогда, когда
Точка пересечения E может лежать как внутри, так и вне окружности. В первом случае это будет вписанный четырёхугольник ABCD, а во втором — вписанный четырёхугольник ABDC. Если пересечение лежит внутри, равенство означает, что произведение отрезков, на которые точка E делит одну диагональ, равно произведению отрезков другой диагонали. Это утверждение известно как теорема о пересекающихся хордах, поскольку диагонали вписанного четырёхугольника являются хордами описанной окружности. Седьмой критерий вписанности четырёхугольника. Выпуклый четырёхугольник ABCD является вписанным тогда и только тогда, когда
. Восьмой критерий вписанности четырёхугольника. Пусть выпуклый четырехугольник, в котором - точка пересечения диагоналей, - точка пересечения продолжений сторон и , - точка пересечения продолжений сторон и . И пусть - окружность девяти точек треугольника . является циклическим четырехугольником тогда и только тогда, когда точка пересечения его средних линий лежит на окружности . (см. рис.)
Девятый критерий вписанности четырёхугольника. В выпуклом четырехугольнике пусть - точка пересечения диагоналей, - точка пересечения продолжений сторон и , и пусть - окружность, диаметр которой является отрезком , формирующая точки Паскаля и на сторонах и .(см. рис.) (1) является циклическим четырехугольником тогда и только тогда, когда точки и коллинеарные с центром окружности . (2) является циклическим четырехугольником тогда и только тогда, когда точки и являются серединами сторон и . . Десятый критерий вписанности четырёхугольника. Условие, при котором совмещение двух треугольников с одной равной стороной даёт четырёхугольник, вписанный в окружность См. подраздел «Диагонали» статьи «Вписанный четырёхугольник». Для того, чтобы два треугольника с тройками длин сторон соответственно (a, b, f) и (c, d, f) при их совмещении вдоль общей стороны с длиной, равной f, давали в итоге четырёхугольник, вписанный в окружность с последовательностью сторон (a, b, c, d), необходимо условиеJohnson, Roger A., Advanced Euclidean Geometry, Dover Publ. Co., 2007
Замечание. Последнее условие даёт выражение для диагонали f четырёхугольника, вписанного в окружность, через длины четырёх его сторон (a, b, c, d). Эта формула немедленно следует при перемножении и при приравнивании друг другу левых и правых частей формул, выражающих суть первой и второй теорем Птолемея.
Одиннадцатый критерий вписанности четырёхугольника. Выпуклый четырёхугольник (см. рис. справа), образованный четырьмя данными прямыми Микеля, вписан в окружность тогда и только тогда, когда точка Микеля M четырёхугольника лежит на прямой, соединяющей две из шести точек пересечения прямых (те, которые не являются вершинами четырёхугольника). То есть, когда M лежит на EF (см. рис. справа).
Площадь Площадь S вписанного четырёхугольника со сторонами a, b, c, d задаётся формулой Брахмагупты
где p, полупериметр, равен . Утверждение является следствием формулы Бретшнайдера, поскольку противоположные углы в сумме дают 180°. Если же d = 0, вписанный четырёхугольник становится треугольником, и равенство превращается в формулу Герона.
Вписанный четырёхугольник имеет максимальную площадь среди всех четырёхугольников, имеющих ту же последовательность длин сторон. Это другое следствие формулы Бретшнайдера. Утверждение можно доказать с помощью математического анализа.
Четыре неравные длины, каждая из которых меньше суммы остальных трёх, являются сторонами трёх неконгруэнтных вписанных четырёхугольников, и по формуле Брахмагупты все эти треугольники имеют одинаковую площадь. В частности, для сторон a, b, c и d сторона a может быть противоположной любой из сторон b, c или d. Любые два из этих трёх вписанных четырёхугольников имеют диагональ одинаковой длины.
Площадь вписанного четырёхугольника с последовательными сторонами a, b, c, d и углом B между сторонами a и b можно выразить формулой
или
где θ — любой угол между диагоналями. Если угол A не является прямым, площадь можно выразить формулой
Ещё одна формула площади
где R — радиус описанной окружности. Прямым следствием будет ,
и неравенство превращается в равенство в том и только в том случае, когда четырёхугольник является квадратом.
Диагонали Во вписанном четырёхугольнике с вершинами A, B, C, D (в указанной последовательности) и сторонами a = AB, b = BC, c = CD и d = DA длины диагоналей p = AC и q = BD можно выразить через стороны
и
что даёт равенство Птолемея
Согласно второй теореме Птолемея,
при тех же обозначениях, что и прежде.
Для суммы диагоналей имеем неравенство
Неравенство становится равенством в том и только в том случае, когда диагонали имеют одинаковую длину, что можно показать, используя неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим.
Более того,
В любом выпуклом четырёхугольнике две диагонали делят четырёхугольник на четыре треугольника. Во вписанном четырёхугольнике противоположные пары этих четырёх треугольников подобны.
Если M и N являются средними точками диагоналей AC и BD, то
где E и F — точки пересечения противоположных сторон.
Если ABCD — вписанный четырёхугольник и AC пересекает BD в точке P, то A. Bogomolny, An Identity in (Cyclic) Quadrilaterals, Interactive Mathematics Miscellany and Puzzles, , Accessed 18 March 2014.
Формулы углов Для вписанного четырёхугольника со сторонами a, b, c, d, полупериметром p и углом A между сторонами a и d тригонометрические функции угла A равны
Для угла θ между диагоналями выполняется
Если продолжения противоположных сторон a и c пересекаются под углом , то
где p — полупериметр
Формула Парамешвары Для вписанного четырёхугольника со сторонами , , и (в указанной последовательности) и полупериметром радиус описанной окружности задаётся формулой
Формула была выведена индийским математиком в 15 веке.
Используя формулу Брахмагупты, формулу Парамешвары можно преобразовать в ,
где — площадь вписанного четырёхугольника.
Антицентр и коллинеарность Четыре отрезка прямых, перпендикулярных одной стороне вписанного четырёхугольника и проходящих через середину противоположной стороны, пересекаются в одной точке. Эта точка пересечения называется антицентром. Антицентр симметричен центру описанной окружности относительно "вершинного центроида". Таким образом, во вписанном четырёхугольнике центр описанной окружности, "вершинный центроид" и антицентр лежат на одной прямой.
Если диагонали вписанного четырёхугольника пересекаются в точке P, а середины диагоналей — V и W, то антицентр четырёхугольника является ортоцентром треугольника VWP, а вершинный центроид находится в середине отрезка, соединяющего середины диагоналей .
Во вписанном четырёхугольнике "центроид площади" Ga, "центроид вершин" Gv и пересечение P диагоналей лежат на одной прямой. Для расстояний между этими точками выполняется равенство
Другие свойства
Теорема Монжа об ортоцентре вписанного четырехугольника. 4 отрезка прямых (4 антимедатрисы), проведенных из середин 4 сторон вписанного четырехугольника перпендикулярно к противолежащим сторонам, пересекаются в ортоцентре Н этого четырехугольника.Замечательные точки и линии четырехугольников// https://math.mosolymp.ru/upload/files/2018/khamovniki/geom-10/2018-04-17-Zam_pr_ch-ka.pdf ,Теорема Монжа// https://bambookes.ru/stuff/reshenie_zadach/geometrija/4-1-0-8264
Японская теорема о вписанном четырёхугольнике. Во вписанном четырёхугольнике ABCD центры вписанных окружностей треугольников ABC, BCD, CDA и DAB являются вершинами прямоугольника. Это одна из теорем, известных как японская теорема. Ортоцентры тех же четырёх треугольников являются вершинами четырёхугольника, равного ABCD. Центроиды этих четырёх треугольников являются вершинами другого вписанного четырёхугольника.
Следствие теоремы о вписанном угле. Во вписанном четырёхугольнике ABCD с центром описанной окружности O пусть P — точка пересечения диагоналей AC и BD. Тогда угол APB является средним арифметическим углов AOB и COD. Это является прямым следствием теоремы о вписанном угле и .
Теорема о перпендикулярности внутренних биссектрис углов при вершинах E и F, образованных на пересечениях двух пар противоположных сторон вписанного четырёхугольника. Если противоположные стороны вписанного четырёхугольника продолжить до пересечения в точках E и F, то внутренние биссектрисы углов в E и F перпендикулярны.
Теорема о 4 проекциях 4 вершин вписанного четырёхугольника. Пусть — вписанный четырёхугольник, — основание перпендикуляра, опущенного из вершины на диагональ ; аналогично определяются точки . Тогда точки лежат на одной окружности.Вокруг задачи Архимеда. Упр. 7, рис. 11, следствие, c. 5
Теорема о числовом четырехугольнике. Не существует вписанных четырёхугольников с рациональной площадью и неравными рациональными сторонами, образующими арифметическую, либо геометрическую прогрессию.
Теорема о числовом четырехугольнике. Если вписанный четырёхугольник имеет длины сторон, образующие арифметическую прогрессию, то четырёхугольник является также .
Четырёхугольники Брахмагупты Четырёхугольник Брахмагупты — это вписанный четырёхугольник с целочисленными длинами сторон, целочисленными длинами диагоналей и целочисленной площадью. Все четырёхугольники Брахмагупты со сторонами a, b, c, d, диагоналями e, f, площадью S, и радиусом описанной окружности R можно получить путём избавления от знаменателя в следующих выражениях (при рациональных параметрах t, u и v):