Фу́нкция распределе́ния в теории вероятностей — функция, характеризующая распределение случайной величины или случайного вектора. В одномерном случае функция распределения — это вероятность того, что случайная величина примет значение, меньшее , где — произвольное действительное числоВентцель Е. С. Теория вероятностей. 2001. — С. 73.Боровков А. А. Теория вероятностей, 1999. — С. 37.Математическая энциклопедия. 1984, Том 4. — С. 883.Тихонов В. И. Статистическая радиотехника, 1982.— С. 21..
Определение Пусть дано вероятностное пространство , и на нём определена случайная величина с распределением . Тогда функцией распределения случайной величины называется функция , задаваемая формулой: . То есть функцией распределения (вероятностей) случайной величины называют функцию , значение которой в точке равно вероятности события , то есть события, состоящего только из тех элементарных исходов, для которых .
Свойства непрерывна слеваБоровков А. А. Теория вероятностей, 1999. — С. 39.:
не убывает на всей числовой прямой. . .
Если функция удовлетворяет четырём перечисленным выше свойствам, то существует вероятностное пространство и определённая на нём случайная величина, такая что является её функцией распределения.
Функция была бы непрерывна справа: , если бы определение функции распределения было бы следующее: . Такое определение функции распределения используется реже в русскоязычной литературе, например у математика Ширяева А. Н.. Однако современным международным стандартом рекомендовано определение с нестрогим неравенством, что обосновано техническими удобствами при работе с мерой Лебега-Стилтьеса.
Тождества Из свойств вероятности следует, что , таких что :
Дискретные распределения Если случайная величина дискретна, то есть её распределение однозначно задаётся функцией вероятности: , то функция распределения этой случайной величины кусочно-постоянна и может быть записана как: . Эта функция непрерывна во всех точках , таких что , и имеет разрыв первого рода в точках .
Непрерывные распределения Распределение называется непрерывным, если такова его функция распределения . В этом случае: , и , а следовательно формулы имеют вид: , где означает любой интервал, открытый или закрытый, конечный или бесконечныйПисьменный Д. Т. Конспект лекций по теории вероятностей, математической статистике и случайным процессам, 2008. — С. 66..
Абсолютно непрерывные распределения Распределение называется абсолютно непрерывным, если существует неотрицательная почти всюду функция , такая что: . Функция называется плотностью распределения. Известно, что функция распределения абсолютно непрерывного распределения непрерывна, и, более того, если , то , и .
Вариации и обобщения Многомерные функции распределения Пусть фиксированное вероятностное пространство, и — случайный вектор. Тогда распределение , называемое распределением случайного вектора или совместным распределением случайных величин , является вероятностной мерой на . Функция этого распределения задаётся по определению следующим образом: , где в данном случае обозначает декартово произведение множеств.
Свойства многомерных функций распределения аналогичны одномерному случаю. Также сохраняется взаимно-однозначное соответствие между распределениями на и многомерными функциями распределения. Однако, формулы для вычисления вероятностей существенно усложняются, и потому функции распределения редко используются для .
См. также Плотность вероятности
Примечания
Категория:Теория вероятностей