Задача Бюффона о бросании иглы — один из первых примеров применения метода Монте-Карло и рассмотрения понятия . Задача была сформулирована Бюффоном в 1777 году. Оказалось, что эта задача сделала возможным определение числа π вероятностными методами.
Суть задачи Суть метода была в бросании иглы длиной на плоскость, расчерченную параллельными прямыми, расположенными на расстоянии друг от друга (см. Рис. 1).
Вероятность (как видно из дальнейшего контекста, речь идёт не о вероятности, а о математическом ожидании количества пересечений за один опыт; вероятностью это становится лишь при условии, что ) того, что отрезок пересечет прямую, связана с числом Пи:
, где — расстояние от начала иглы до ближайшей к ней прямой; — угол иглы относительно прямых.
При условии, что получается решение: . Таким образом, подсчитав долю отрезков, пересекающих прямые, можно приближенно определить число Пи. При увеличении количества попыток точность получаемого результата будет увеличиваться.
В 1864 году капитан Фокс, выздоравливая после ранения, чтобы как-то занять себя, реализовал эксперимент по бросанию иглыMath Surprises: An Example . Результаты представлены в следующей таблице: Число бросаний Число пересечений Длина иглы Расстояние между прямыми Вращение Значение Пи Ошибка Первая попытка 500 236 3 4 отсутствует 3.1780 −0.03640734 Вторая попытка 530 253 3 4 присутствует 3.1423 −0.00070734 Третья попытка 590 939 5 2 присутствует 3.1416 +0.00000734
Комментарии: Вращение плоскости применялось (и как показывают результаты — успешно) для того, чтобы уменьшить систематическую ошибку. В третьей попытке длина иглы была больше расстояния между линиями, что позволило не увеличивая числа бросаний эффективно увеличить число событий и повысить точность.
Вариации и обобщения Задача о макаронине Бюффона — вариант задачи для кривых.
Формула Крофтона
Примечания
Литература
Категория:Метод Монте-Карло Категория:Интегральная геометрия Категория:Пи (число)