Волнова́я фу́нкция, или пси-фу́нкция  — комплекснозначная функция, используемая в квантовой механике для математического описания чистого квантового состояния изолированной квантовомеханической системы. Наиболее распространённые символы для волновой функции — греческие буквы и (строчные и заглавные пси соответственно). Является коэффициентом разложения вектора состояния по базису (координатному, импульсному и пр.). Например, при разложении по координатному базису:

где  — координатный базисный вектор, а  — волновая функция в координатном представлении.

Размерность волновой функции определяется её представлением; в самом популярном координатном представлении размерность м−3/2, в импульсном — кг −3/2м−3/2c3/2.

Согласно правилу Борна, для нормированной волновой функции величина является плотностью вероятности результатов измерения величин, задающих выбранное представление.

Волновая функция — это функция степеней свободы, соответствующая некоторому максимальному набору коммутирующих наблюдаемых. Как только такое представление выбрано, волновая функция может быть получена из квантового состояния.

Для данной системы выбор коммутирующих степеней свободы не является уникальным, и, соответственно, область определения волновой функции также не уникальна. Например, её можно рассматривать как функцию всех координат положения частиц в координатном пространстве или импульсов всех частиц в пространстве импульсов; эти два описания связаны преобразованием Фурье. Некоторые частицы, такие как электроны и фотоны, имеют ненулевой спин, и волновая функция таких частиц включает спин как внутреннюю дискретную степень свободы; также для различных систем могут быть рассмотрены другие дискретные переменные, такие как изоспин. Когда система имеет внутренние степени свободы, волновая функция в каждой точке непрерывных степеней свободы (например, точка в координатном пространстве) присваивает комплексное число для каждого возможного значения дискретных степеней свободы (например, z-компонента спина) — эти значения часто отображаются в виде вектора-столбца (например, для нерелятивистского электрона со спином.

Согласно принципу суперпозиции в квантовой механике, волновые функции можно складывать и умножать на комплексные числа, чтобы построить новые волновые функции и задать гильбертово пространство. Внутреннее произведение в гильбертовом пространстве между двумя волновыми функциями является мерой перекрытия между соответствующими физическими состояниями и используется в фундаментальной вероятностной интерпретации квантовой механики, правиле Борна, связывающем вероятности переходов со скалярным произведением состояний. Уравнение Шрёдингера определяет, как волновые функции эволюционируют с течением времени, а волновая функция качественно ведёт себя как другие волны, такие как волны на воде или волны в струне, потому что уравнение Шрёдингера математически является разновидностью волнового уравнения. Это объясняет название «волновая функция» и приводит к дуальности волна-частица. Однако волновая функция в квантовой механике описывает своего рода физическое явление, все ещё открытое для различных интерпретаций, которое принципиально отличается от такового для классических механических волнHeisenberg, W. (1927/1985/2009). Heisenberg is translated by , (from )..

В статистической интерпретации Борна в нерелятивистской квантовой механике, translated in at pages 52-55., translated in . Also here .Born, M. (1954)., квадрат модуля волновой функции — это вещественное число, интерпретируемое как плотность вероятности измерения частицы как находящейся в заданном месте или имеющей заданный импульс в заданное время и, возможно, имеющей определённые значения для дискретных степеней свободы. Интеграл этой величины по всем степеням свободы системы должен быть равен 1 в соответствии с вероятностной интерпретацией. Это общее требование, которому должна удовлетворять волновая функция, называется условием нормировки. Поскольку волновая функция имеет комплексные значения, можно измерить только её относительную фазу и относительную величину — её значение, по отдельности, ничего не говорит о величинах или направлениях измеряемых наблюдаемых; необходимо применить квантовые операторы, собственные значения которых соответствуют наборам возможных результатов измерений, к волновой функции и вычислить статистические распределения для измеримых величин.

История В 1905 году Альберт Эйнштейн постулировал пропорциональность между частотой фотона и его энергией (in German), (in English), и в 1916 г. — соотношение между импульсом фотона и длиной волны , and a nearly identical version translated in ., где  — постоянная Планка. В 1923 году Де Бройль первым предположил, что соотношение теперь называемое соотношением Де Бройля, справедливо для массивных (= обладающих массой) частиц, главным ключом к пониманию которого является лоренц-инвариантность, и это можно рассматривать как отправную точку для современного развития квантовой механики. Уравнения описывают дуальность волна-частица как для безмассовых, так и для массивных частиц.

В 1920-х и 1930-х годах квантовая механика развивалась с использованием математического анализа и линейной алгебры. Анализ в своих работах использовали Луи де Бройль, Эрвин Шредингер и другие, разработавшие «волновую механику». Среди тех, кто применял методы линейной алгебры, были Вернер Гейзенберг, Макс Борн и другие, разработавшие «матричную механику». Впоследствии Шрёдингер показал, что эти два подхода эквивалентны.

В 1926 году Шрёдингер опубликовал волновое уравнение, теперь названное уравнением Шрёдингера. Это уравнение было основано на классическом законе сохранении энергии, но записано с использованием квантовых операторов и соотношений де Бройля, а его решения представлялись волновыми функциями квантовой системы. Однако никто не знал, как это интерпретировать. Сначала Шрёдингер и другие думали, что волновые функции представляют собой частицы, которые распределены по пространству, причём большая часть частицы находится там, где волновая функция велика. Было показано, что это несовместимо с упругим рассеянием волнового пакета (представляющего собой частицу) от рассеивателя, потому что он распространяется во всех направлениях. Хотя рассеянная частица может рассеяться в любом направлении, она не разбивается на части и не улетает во всех направлениях. В 1926 году Борн представил свою интерпретацию амплитуды вероятности. Она связывает вычисления квантовой механики непосредственно с вероятностями наблюдаемыми в эксперименте. Сейчас эта картина принята как часть копенгагенской интерпретации квантовой механики. Существует много других интерпретаций квантовой механики. В 1928 году Дуглас Хартри разработал метод самосогласованного поля для приближённого решения многоэлектронной задачи. В 1930 году Владимир Фок развил этот подход, учтя антисимметрию многоэлектронной волновой функции и обменное взаимодействие. Сейчас этот метод известен как метод Хартри — Фока. Определитель и перманент Слейтера (матрицы) были частью метода, предложенного Джоном К. Слейтером.

Шрёдингер рассматривал релятивистское волновое уравнение ещё до публикации своего нерелятивистского уравнения, однако полученный им спектр атома водорода не воспроизводил наблюдаемую тонкую структуру. В 1926 году к тому же релятивистскому скалярному уравнению независимо пришли несколько исследователей, в том числе Оскар Клейн, Владимир Фок, Луи де Бройль и Вальтер Гордон. Впоследствии оно стало известно как уравнение Клейна — Гордона.

В 1927 году Паули феноменологически нашёл нерелятивистское уравнение для описания частиц со спином 1/2 в электромагнитных полях, которое теперь называется уравнением Паули. Паули обнаружил, что волновая функция не описывалась одной комплексной функцией пространства и времени, а требовалось два комплексных числа, которые соответствуют состояниям фермиона со спином +1/2 и −1/2. Вскоре после этого, в 1928 году, Дирак нашёл уравнение из первого успешного объединения специальной теории относительности и квантовой механики в применении к электрону, которое теперь называется уравнением Дирака. В этом случае волновая функция представляет собой спинор, представленный четырьмя комплексными компонентами: двумя для электрона и двумя для античастицы электрона — позитрона. В нерелятивистском пределе волновая функция Дирака напоминает волновую функцию Паули для электрона. Позже были найдены другие релятивистские волновые уравнения.

Волновые функции и волновые уравнения в современных теориях Все эти волновые уравнения имеют непреходящее значение. Уравнение Шрёдингера и уравнение Паули во многих случаях являются превосходными приближениями для релятивистских задач. Эти уравнения значительно легче решить в практических задачах, чем их релятивистские аналоги.

Уравнения Клейна — Гордона и Дирака, будучи релятивистскими, не полностью примиряют квантовую механику и специальную теорию относительности. Раздел квантовой механики, где эти уравнения изучаются так же, как уравнение Шрёдингера, часто называемый релятивистской квантовой механикой, хотя и очень успешен, имеет свои ограничения (см., например, Лэмбовский сдвиг) и концептуальные проблемы (см., например, море Дирака).

Относительность делает неизбежным то, что количество частиц в системе непостоянно. Для полного согласования нужна квантовая теория поля takes the standpoint that quantum field theory appears the way it does because it is the only way to reconcile quantum mechanics with special relativity.. В этой теории волновые уравнения и волновые функции также используются, но в несколько ином виде. Основными объектами интереса являются не волновые функции, а скорее операторы, так называемые операторы поля (или просто поля, под которыми понимаются «операторы») в гильбертовом пространстве состояний. Оказывается, исходные релятивистские волновые уравнения и их решения всё ещё необходимы для построения гильбертова пространства. Более того, операторы свободных полей, то есть для невзаимодействующих частиц, во многих случаях формально удовлетворяют тому же уравнению, что и поля (волновые функции).

Таким образом, уравнение Клейна — Гордона (спин ) и уравнение Дирака (спин ) в таком виде остаются в теории. Аналоги высших спинов включают уравнение Прока (спин ), уравнение Рариты — Швингера (спин ) и, в более общем смысле, уравнения Баргмана — Вигнера. Для безмассовых свободных полей примерами являются уравнения Максвелла свободного поля (спин ) и уравнение Эйнштейна свободного поля (спин ) для операторов поля See especially chapter 5, where some of these results are derived.. Все они по сути являются прямым следствием требования лоренц-инвариантности. Их решения должны преобразовываться при преобразовании Лоренца заданным образом, то есть в соответствии с определённым представлением группы Лоренца, и этого (вместе с некоторыми другими разумными требованиями, например принципом кластерной декомпозиции Chapter 4.) с учётом причинности достаточно для модификации уравнения.

Это относится к уравнениям свободного поля, когда взаимодействия не включены. Если доступна плотность лагранжиана (включая взаимодействия), то лагранжев формализм даст уравнение движения на классическом уровне. Это уравнение может быть очень сложным и не поддающимся решению. Любое решение будет относиться к фиксированному числу частиц и не будет учитывать термин «взаимодействие», как понимается в этих теориях, который включает в себя создание и уничтожение частиц, а не внешние потенциалы, как в обычной квантовой теории (первичного квантования).

В теории струн ситуация остаётся аналогичной. Например, волновая функция в импульсном пространстве играет роль коэффициента разложения Фурье в общем состоянии частицы (струны) с импульсом, который чётко не определён.

Физический смысл