Теорема сравнения Топоногова — классическая теорема римановой геометрии в целом.
В двумерном случае теорема была доказана Паоло ПиццеттиPizzetti, P., Paragone fra due triangoli a lati uguali. Atti della Reale Accademia dei Lincei, Rendiconti (5). Classe di Scienze Fisiche, Matematiche e Naturali 16 (1), 1907, 6-11.. Однако его работа оставалась незамеченной целый век.Pambuccian, Victor; Zamfirescu, Tudor, Paolo Pizzetti: the forgotten originator of triangle comparison geometry. Historia Math. 38 (2011), no. 3, 415—422. Теорема была независимо передоказана Александром Даниловичем АлександровымА. Д . Александров, Внутренняя геометрия выпуклых поверхностей, М.—Л.,Гостехиздат, 1948. и обобщена Виктором Андреевичем ТопоноговымТопоногов В. А. Римановы пространства кривизны, ограниченной снизу УМН, 14:1(85) (1959), 87-130 на старшие размерности. Она послужила отправной точкой в развитии Александровской геометрии ограниченной снизу кривизны.
Вводные определения Пусть — полное риманово многообразие размерности хотя бы 2 и с секционной кривизной не меньше некоторой константы .
Обозначим через модельную плоскость кривизны . При это евклидова плоскость, при , изометрично поверхности сферы радиуса и при , есть плоскость Лобачевского кривизны .
Треугольником в называется тройка кратчайших соединяющие попарно три точки. При этом каждая из трёх точек называется вершиной треугольнка, а величина угла между парой исходящих из вершины кратчайших называется углом при этой вершине.
Пусть есть треугольник в . Предположим в существует треугольник , с равными соответствующими сторонами и при этом такой треугольник является единственным с точностью до конгруэнтности. В этом случае треугольник называется модельным треугольником треугольника в .
Заметим, что модельный треугольник всегда определён в случае если . В случае если , это верно если периметр строго меньше .
Пусть в есть модельный треугольник в . Определим модельный угол как угловую меру .
Формулировка Теорема. Пусть — полное риманово многообразие размерности хотя бы 2 и с секционной кривизной не меньше некоторой константы . Тогда углы любого треугольника в M не меньше соответствующих углов его модельного треугольника . Иначе говоря
для любого треугольника .
Следствия Предположим — полное риманово многообразие с неотрицательной секционной кривизной. Тогда для любой точки , функция является 2-вогнутой; то есть, для любой нормальной геодезической функция является вогнутой.
Вариации и обобщения Обратная теорема также верна, то есть если сравнение углов верно для любого треугольника в римановом многообразии то имеет кривизну хотя бы .
Для каждой точки на стороне треугольника , обозначим через соответственную точку на стороне . Тогда утверждение теоремы эквивалентно выполнению следующего неравенства
где обозначает расстояние между точками и в римановом многообразии .
Утверждение теоремы эквивалентно выполнению следующего неравенства
для произвольной четвёрки точек
Теорема Топоногова даёт полное описание метрических пространств, которые изометричны четырёточечным подмножествам полного риманова многообразия с неотрицательной кривизной.N. Lebedeva, V. Zolotov «Curvature and 4-point subspaces». Известно аналогичное описание пятиточечных подмножеств.
См. также Теорема сравнения Рауха
Примечания
Литература
Категория:Риманова (и псевдориманова) геометрия