Центр окружности девяти точек — одна из замечательных точек треугольника. Её часто обозначают как .
Окружность девяти точек, или окружность Эйлера, проходит через девять важных точек треугольника — середины сторон, основания трёх высот и середины отрезков, соединяющих ортоцентр с вершинами треугольника. Центр этой окружности указан как точка X(5) в энциклопедии центров треугольника Кларка КимберлингаEncyclopedia of Triangle Centers , accessed 2014-10-23..
Свойства Центр окружности девяти точек лежит на прямой Эйлера треугольника посредине между ортоцентром и центром описанной окружности . Центроид также лежит на этой линии на расстоянии 2/3 от ортоцентра к центру описанной окружности, так, что
Таким образом, если пара из этих четырёх центров известна, положение двух других легко найти.
Андрю Гинанд (Andrew Guinand) в 1984-м году, исследуя задачу, ныне известную как задача определения треугольника Эйлера, показал, что если положение этих центров для неизвестного треугольника задано, то инцентр треугольника лежит внутри (окружности, диаметром которой служит отрезок между центроидом и ортоцентром). Только одна точка внутри этой окружности не может быть центром вписанной окружности — это центр девяти точек. Любая другая точка внутри этой окружности определяет единственный треугольник. Расстояние от центра окружности девяти точек до инцентра удовлетворяет формулам:
где и — радиусы описанной и вписанной окружностей соответственно.
Центр окружности девяти точек является центром описанных окружностей серединного треугольника, ортотреугольника и треугольника ЭйлераЗдесь не следует путать треугольник Эйлера из теории чисел (наподобие треугольника Паскаля) и треугольник Эйлера как треугольник, образованный точками Эйлера. Точки Эйлера — это середины отрезков, соединяющих оротоцентр с вершинами треугольника.. Вообще говоря, эта точка является центром описанной окружности треугольника, имеющего в качестве вершин любые три из девяти перечисленных точек. Центр окружности девяти точек совпадает с центроидом четырёх точек — трёх точек треугольника и его ортоцентраЭнциклопедия центров треугольника приписывает это наблюдение Рэнди Хьюстону(Randy Hutson, 2011).. Из девяти точек на окружности Эйлера три являются серединами отрезков, соединяющих вершины с ортоцентром (вершины треугольника Эйлера-Фейербаха). Эти три точки являются отражениями середин сторон треугольника относительно центра окружности девяти точек. Таким образом, центр окружности девяти точек служит центром симметрии, переводящим серединный треугольник в треугольник Эйлера-Фейербаха (и наоборот) . Согласно теореме Лестера центр окружности девяти точек лежит на одной окружности с тремя другими точками — двумя точками Ферма и центром описанной окружности .
Точка Косниты треугольника, связанная с теоремой Косниты, изогонально сопряжена центру окружности девяти точек. (см. рис.) Прямая , проходящая через две точки Вектена и , пересекает прямую Эйлера в центре девяти точек треугольника .
Координаты Трилинейные координаты центра окружности девяти точек равны:
Барицентрические координаты центра равны:
Примечания
Литература
Ссылки
Категория:Геометрия треугольника Категория:Замечательные точки треугольника Категория:Точки в Энциклопедии центров треугольника Категория:Окружности Категория:Теоремы планиметрии