Касательный вектор — элемент касательного пространства, например элемент касательной прямой к кривой, касательной плоскости к поверхности так далее.
Касательный вектор к кривой Пусть функция определена в некоторой окрестности точки и дифференцируема в ней: . Касательным вектором к графику функции в точке называется вектор с компонентами . Если функция имеет в точке бесконечную производную то касательный вектор .
Общее определение Касательным вектором к гладкому многообразию в точке называется оператор , сопоставляющий каждой гладкой функции число и обладающий следующими свойствами: аддитивность: правило Лейбница:
Множество всех таких операторов в точке имеет естественную структуру линейного пространства, именно:
.
Совокупность всех касательных векторов в точке образует векторное пространство, которое называется касательным пространством в точке . Совокупность всех касательных векторов во всех точках многообразия образует векторное расслоение, которое называется касательным расслоением.
Касательный вектор как класс эквивалентности путей Понятие касательного вектора к многообразию в точке обобщает понятие касательного вектора к гладкому пути в пространстве Rn. Пусть в Rn задан гладкий путь : .
Тогда существует единственный прямолинейный и равномерный путь , который его касается в момент времени t0: .
Касание двух путей и означает, что ; отношения касания путей в точке есть отношение эквивалентности. Kасательный вектор в точке x0 можно определить как класс эквивалентности всех гладких путей, проходящих через точку x0 в один и тот же момент времени, и касающихся друг с другом в этой точке.
Касательный вектор к подмногообразию Касательный вектор в точке гладкого подмногообразия евклидова пространства — вектор скорости в точке некоторой кривой в .
Иначе говоря, касательный вектор в точке подмногообразия, локально заданного параметрически с , есть произвольная линейная комбинация частных производных .
Замечания Для этого определения касательного вектора достаточно, чтобы подмногообразие было класса гладкости . Согласно теореме Уитни о вложении, любое гладкое n-мерное многообразие допускает вложение в . Поэтому, не нарушая строгость, можно использовать данное определение для любого гладкого многообразия. Разумется при этом придётся доказывать независимость определения от вложения.
Литература
Категория:Дифференциальная геометрия и топология