Пятиугольник Роббинса — вписанный в окружность пятиугольник, длины всех сторон и площадь которого выражаются рациональными числами.
История Термин «пятиугольник Роббинса» ввели Ральф Бухгольц и Джеймс Макдугалл в честь математика Дэвида Роббинса, получившего формулу, выражающую площадь вписанного пятиугольника через длины его сторон. Название было выбрано по аналогии с героновыми треугольниками, названными в честь Герона, с именем которого традиционно связывают формулу площади треугольника по трём сторонам.
Площадь и периметр Масштабированием любого пятиугольника Роббинса можно получить подобный ему пятиугольник, у которого как длины сторон, так и площадь являются целыми числами. Бухгольц и Макдугалл доказали более сильное утверждение: если длины сторон пятиугольника Роббинса целочисленны, то его площадь также является целым числом, а периметр — чётным числом.
Диагонали Бухгольц и Макдугалл доказали, что у любого пятиугольника Роббинса либо длины всех пяти диагоналей рациональны, либо ни одна из них не рациональна.
Бухгольц и Макдугалл провели вычислительный поиск пятиугольников Роббинса с иррациональными диагоналями, но не обнаружили ни одного примера. На этом основании они выдвинули гипотезу, что такие пятиугольники не существуют.
Примечания
Литература
Категория:Арифметические проблемы планиметрии Категория:Окружности Категория:Многоугольники