Теорема Лиувилля об интеграле уравнения Гамильтона — Якоби — утверждение о достаточных условиях интегрируемости в квадратурах (существования решения в виде комбинации элементарных функций и интегралов от них) уравнения Гамильтона — Якоби.
Формулировка Если в голономной системе с степенями свободы кинетическая энергия имеет вид
и потенциальная энергия имеет вид , где , то интегрирование уравнения Гамильтона—Якоби приводит к квадратурам (решение можно представить в виде комбинации элементарных функций и интегралов от них).
Доказательство Функция Гамильтона для условий теоремы имеет вид: . Обобщенные импульсы равны . С учётом этого функция Гамильтона: . Произведем замену . Уравнение Гамильтона — Якоби примет вид: . Будем искать полный интеграл этого уравнения в виде: . Уравнение Гамильтона — Якоби примет вид:
Каждое слагаемое левой части этого уравнения зависит только от одной обобщённой координаты , поэтому можно применить метод разделения переменных. Это уравнение выполняется, если каждое из слагаемых равно постоянной величине: , причем должно выполняться условие . Каждое из уравнений (1) является дифференциальным уравнением первого порядка, интегрирование которого сводится к квадратуре: . Таким образом, полный интеграл уравнения Гамильтона — Якоби равен:
Этот интеграл содержит произвольных постоянных и постоянную
Примечания
Литература
Категория:Теоретическая механика Лиувилля Лиувилля