Обобщённый интеграл энергии — интеграл уравнений Лагранжа голономной механической системы в случае не зависящей от времени функции Лагранжа. Также называется интегралом Якоби. Всегда существует, если силы потенциальны, а функция Лагранжа явно от времени не зависит.
Формулировка
Уравнения Лагранжа голономной механической системы c независящей от времени функцией Лагранжа
имеют обобщённый интеграл энергии:
Вывод
Рассмотрим голономную систему, имеющую степеней свободы, с функцией Лагранжа
,
зависящей от обобщённых координат , обобщённых скоростей и времени , здесь и ниже всюду .
Дифференцируя по времени функцию , получаем
.
Из уравнений Лагранжа
следует, что
.
Тогда получаем:
.
Пользуясь этим, имеем:
Или:
.
Если функция Лагранжа явно не зависит от времени, то и
Из этого следует:
Это выражение называется обобщённым интегралом энергии, или интегралом Якоби.
Примечания
Литература
Категория:Теоретическая механика