Группа узла — характеристика узла, определяемая как фундаментальная группа его дополнения.
Определение Пусть есть узел. Тогда группа узла определяется как фундаментальная группа ..
Комментарий По другим соглашениям узел рассматривается как вложение окружности в 3-сферу. В этом случае группу узла определяют как фундаментальную группу его дополнения в . Оба определения дают изоморфные группы.
Свойства Два эквивалентных узла имеют изоморфные группы узлов, так что группа узла является инвариантом узла и может быть использована для установления неэквивалентности пары узлов. Однако два неэквивалентных узла могут иметь изоморфные группы узлов (см. пример ниже).
Абелианизация группы узла всегда изоморфна бесконечной циклической группе . Это следует из того, что абелизация совпадает с первой группой гомологий, которую легко вычислить.
Группу узлов (а также фундаментальную группу ориентированных зацеплений в общем случае) можно вычислить с помощью сравнительно простых алгоритмов, используя .
Примеры Группа тривиального узла изоморфна . Обратное также верно. Группа трилистника изоморфна группе кос , эта группа имеет задание: или . Группа -торического узла обладает заданием: . Группа восьмёрки имеет задание: . Прямой узел и бабий узел имеют изоморфные группы узлов, но узлы эти не эквивалентны.
См. также
Примечания
Литература
Категория:Инварианты узлов