Точки Торричелли — две точки, из которых все стороны треугольника видны либо под углом в 60°, либо под углом в 120°. Эти точки в треугольнике — «парные». Иногда эти точки называют точками Ферма или точками Ферма-Торричелли.
Две Точки Торричелли — это точки пересечения отрезков, соединяющих вершины треугольника: c соответствующими свободными вершинами равносторонних треугольников, построенных на противолежащих сторонах треугольника (наружу) — первая точка Торричелли с соответствующими свободными вершинами правильных треугольников, построенных на противолежащих сторонах внутрь треугольника — вторая точка Торричелли.
Свойства Первая точка Торричелли — точка треугольника, из которой все стороны видны под углом в 120° (по определению). Первая точка Торричелли имеет наименьшую сумму расстояний до вершин треугольника. Она существует только в треугольниках с углами, меньшими 120°; при этом она единственна и, значит, является частным случаем точки Ферма, существующей в любом треугольнике. Две точки Торричелли и точка Лемуана лежат на одной прямой. Точки Торричелли изогонально сопряжены точкам Аполлония. Построим две прямые, каждая из которых проходит через точку Аполлония и точку Торричелли, отличную от изогонально сопряжённой ей. Такие прямые пересекутся в точке пересечения медиан (в центроиде треугольника). Теорема Лестера. В любом разностороннем треугольнике две точки Торричелли, центр девяти точек и центр описанной окружности лежат на одной окружности (окружности Лестера).
Гипербола Киперта — описанная гипербола, проходящая через центроид и ортоцентр. Если на сторонах треугольника построить подобные равнобедренные треугольники (наружу или внутрь), а затем соединить их вершины с противоположными вершинами исходного треугольника, то три таких прямые пересекутся в одной точке, лежащих на гиперболе Киперта. В частности, на этой гиперболе лежат точки Торричелли и точки Наполеона (точки пересечения чевиан, соединяющие вершины с центрами построенных на противоположных сторонах правильных треугольников).
Замечание Кстати, на первом рисунке справа центры трёх равносторонних треугольников сами являются вершинами нового равностороннего треугольника (Теорема Наполеона). Кроме того, .
См. также Замечательные точки треугольника Теорема Лестера Теорема Ван-Обеля Отрезки и окружности, связанные с треугольником
Примечания
Литература Точка Ферма Точка Торричелли Практический пример построения точки Ферма Задача Ферма-Торричелли и её развитие// http://pmpu.ru/vf4/algebra2/optimiz/distance/torri * Дм. Ефремов. Новая геометрия треугольника 1902 год
Категория:Замечательные точки треугольника