В теории узлов обратимый узел — это узел, который может быть непрерывно деформирован в себя, но с обратной ориентацией. Необратимый узел — это любой узел, который не имеет такого свойства. Обратимость узла является инвариантом узла. Обратимое зацепление — это зацепление с таким же свойством.

Существует только пять типов симметрии узлов, определяемые хиральностью и обратимостью — полностью хиральный, двусторонний, положительно ахиральный необратимый, отрицательно ахиральный необратимый и полностью ахиральный обратимый.

История вопроса + Число обратимых и необратимых узлов по числу пересечений Число пересечений 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 OEIS последовательность Необратимые узлы 0 0 0 0 0 1 2 33 187 1144 6919 38118 226581 1309875 Обратимые узлы 1 1 2 3 7 20 47 132 365 1032 3069 8854 26712 78830

Давно известно, что большинство простых узлов, таких как трилистник и восьмёрка, обратимы. В 1962 году Ральф Фокс высказал предположение, что некоторые узлы необратимы, но не было доказано их существование, пока в 1963 году Хейл Троттер не обнаружил бесконечное семейство необратимых кружевных зацеплений. Теперь известно, что почти все узлы необратимы.

Обратимые узлы

Все узлы с числом пересечений 7 и менее обратимы. Не известно общего метода, который дал бы ответ обратим узел или нет Accessed: May 5, 2013.. Проблему можно перевести в алгебраическую терминологию , но, к сожалению, не известно алгоритма решения этой алгебраической задачи.

Если узел обратим и ахирален, он полностью ахирален. Простейший узел с этим свойством — это восьмёрка. Хиральные обратимые узлы классифицируются как двухсторонние.

Строго обратимые узлы Более абстрактный способ определения обратимого узла — сказать, что существует гомеоморфизм 3-сферы, переводящий узел в себя, но меняющий ориентацию узла на противоположную. Если использовать вместо гомеоморфизма более строгое условие — инволюцию — получим определение строго обратимого узла. Все узлы с единица, такие как трилистник и восьмёрка, строго обратимы.

Необратимые узлы

Простейшим примером необратимого узла служит 817 (в обозначениях Александера — Бриггса) или .2.2 (в обозначениях Конвея). Кружевной узел 7, 5, 3 необратим, как и все кружевные узлы вида (2p + 1), (2q + 1), (2r + 1), где p, q и r — различные целые, что даёт бесконечное семейство узлов, необратимость которых доказана Троттером.

См. также Хиральный узел

Примечания

Литература

Внешние ссылки Jablan, Slavik & Sazdanovic, Radmila. Basic graph theory: Non-invertible knot and links, LinKnot. Explanation with a video, Nrich.Maths.org.

Категория:Теория узлов