Число развязывания в теории узлов — один из важных инвариантов узла, минимальное число переключений мостов (переходов «верёвки» сквозь саму себя), нужных для развязывания узла (превращения в нулевой).
В жизни, где верёвка не может переходить сквозь себя, переключение моста делается так: найти пересечение, разрезать верёвку, например, снизу и соединить сверху, не трогая остального узла.
Числа развязывания некоторых узлов Следующая таблица показывает числа развязывания для первых нескольких узлов:
Свойства Если узел имеет число развязывания , существует диаграмма узла, которая может быть приведена к тривиальному узлу переключением пересечений. Другими словами, узел можно заранее разложить на плоскости так, чтобы потом на этой диаграмме отметить и переключить пересечений — а не перекладывать после каждого переключения.
Число развязывания узла всегда меньше половины его числа пересечений.
Любой составной узел имеет число развязывания по меньшей мере два, а потому любой узел с числом развязывания единица является простым. Другими словами, невозможно развязать два узла одним переключением.
Для двух узлов A и B, а также их связной суммы : ведь можно развязать по отдельности A и B, и получить ровно переключений. Предполагалось, что это неравенство является равенством, в 2025 году найден первый контрпример, причём очень простой: упомянутый 7₁ и его отражение. Они, будучи завязанными на одной верёвке, развязываются за 5 переключений (а не за 3+3=6).
В общем случае достаточно сложно определить число развязывания заданного узла. Чтобы найти упомянутый контрпример 2025 года, потребовалось несколько лет перебора на обычном ПК. Случаи, для которых число развязывания известно: Число развязывания нетривиального скрученного узла всегда равно единице. Число развязывания -торического узла равно . Числа развязывания простых узлов с числом пересечений девять и менее известны (число развязывания простого узла 1011 не известно).
Другие числовые инварианты узлов Число пересечений Число мостов Коэффициент зацепления Число отрезков
См. также Задача развязывания
Примечания
Литература
Ссылки Число развязывания|Knot Atlas
Категория:Инварианты узлов