Чи́сленная относи́тельность () — область общей теории относительности, которая разрабатывает и использует численные методы и алгоритмы для компьютерного моделирования физических процессов в сильных гравитационных полях, когда необходимо численно решать уравнения Эйнштейна. Основные физические системы, для описания которых необходима численная относительность, относятся к релятивистской астрофизике и включают в себя гравитационный коллапс, нейтронные звёзды, чёрные дыры, гравитационные волны и другие объекты и явления, для адекватного описания которых необходимо обращаться к полной общей теории относительности без обычных приближений слабых полей и малых скоростей (как в постньютоновских разложениях и теории возмущений на фоне точных решений уравнений Эйнштейна).

Моделирование в этой области требует специальных численных методов из-за сложности и нелинейности уравнений Эйнштейна (например, гиперболичность и корректность постановки задачи Коши их временно́й эволюции зависит от представления уравнений, а также начальных и граничных условий), а также — для большинства трёхмерных задач — большой вычислительной мощности, доступной лишь современным суперкомпьютерам. На данный момент в численной относительности актуальны исследования в области моделирования релятивистских тесных двойных звёзд и связанных с ними гравитационных волн, а также многие другие математические и астрофизические проблемы.

Общие сведения

Главная цель численной относительности — изучение гравитационных полей, чья точная аналитическая форма неизвестна. Гравитационные поля, форма которых ищется путём вычислений, могут быть как полностью динамическими, так и стационарными или статическими, а также могут содержать материальные поляВ общей теории относительности все поля, кроме гравитационного, принято называть материальными. или быть вакуумными. В случае стационарных и статических решений численные методы могут использоваться для изучения стабильности этих конфигураций. В свою очередь, в случае динамических гравитационных полей задачу можно разделить на две части, которые требуют разных методов решения: задача начальных значений и задача эволюции.

Численная относительность применяется в исследованиях космологических моделей, критических явлений в гравитационном коллапсе, а также процессов с участием чёрных дыр и нейтронных звёзд, особенно их слияний и возмущений. В каждом из этих случаев необходимо прослеживать эволюцию пространства-времени, для чего уравнения Эйнштейна могут быть представлены несколькими способами. Наиболее популярными являются методы задачи Коши, однако также используются и метод характеристик, и методы, основанные на исчислении Редже. Все перечисленные методы начинают со «снимка» гравитационного поля на некоторой гиперповерхности, то есть с начальных данных, и затем прослеживают его эволюцию до следующих близлежащих гиперповерхностей, двигаясь вперёд во времени.

Как и во всех задачах численного анализа, в численной относительности пристальное внимание уделяется устойчивости и сходимости численных решений, допустимым начальным и граничным условиям. Спецификой численной относительности являются усложнения, вносимые наличием калибровочных и координатных условий, а также различными представлениями уравнений Эйнштейна и их влиянием на возможность получать точные численные решения.

Многие из численных методик, применяемых в классической теории поля, неприменимы в общей теории относительности, чем работа в этой области и отличается от исследований в области численной относительности. Тем не менее, в крупномасштабных задачах численная относительность имеет много общих аспектов с другими вычислительными науками, например с вычислительной гидродинамикой, электродинамикой и механикой твёрдого тела. Учёные, занимающиеся численной относительностью, часто работают вместе с прикладными математиками и соприкасаются с такими областями математики, как численный анализ, параллельные вычисления, дифференциальные уравнения в частных производных и геометрия.

История

Теоретические основы Альберт Эйнштейн опубликовал окончательную версию общей теории относительности в 1915 году. Эта теория, как и предшествовавшая ей специальная теория относительности, описывает пространство и время как единый объект — пространство-время, эволюция которого подчиняется уравнениям Эйнштейна. Они образуют систему связанных нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных. За столетие, прошедшее с вывода этих уравнений, стало известно лишь относительно небольшое число физически релевантных точных аналитических решений этих уравнений, и большинство из них выведены в предположении высокой симметрии, что упрощает решение уравнений, как, например, решения Фридмана для однородной и изотропной Вселенной.

Отрасль численной относительности возникла из желания изучать более общие и физически приложимые решения уравнений Эйнштейна, приближённо решая их численно. Необходимым условием для такого их решения было проведение расщепления единого четырёхмерного пространства-времени обратно на разделённые трёхмерное пространство и одномерное время, так называемое 3+1 расщепление. При этом оно может быть проведено множеством различных путей, которые способны существенно усложнить или упростить задачу интегрирования результирующих уравнений. Первая вполне успешная попытка расщепления была проделана Ричардом Арновиттом, Стенли Дезером и Чарльзом Мизнером в конце 1950-х в гамильтоновом формализме на пути, указанном Дираком. Она увенчалась получением уравнений, образующих так называемый АДМ-формализм — формализм Арновитта — Дезера — Мизнера. Хотя по техническим причинам именно эти уравнения оказались не очень удобными для численного интегрирования — они лишь слабо гиперболичны и поэтому редко используются в реальных вычислениях — подавляющее большинство практических подходов к численной относительности используют 3+1 расщепление, близкое к тому, которое использовалось в АДМ-формализме. Такое расщепление ведёт к переформулировке уравнений Эйнштейна в виде задачи Коши с ограничениями на начальные значения, что уже поддаётся численному решению на компьютерах.

Координаты в пространстве-времени не могут быть определены однозначно, поэтому даже при фиксировании координат на начальной гиперповерхности, при переходе к соседней гиперповерхности время и пространственные координаты можно «толкать» по-разному в различных точках (уже в специальной теории относительности направление и скорость течения времени не совпадает в различных инерциальных системах отсчёта), что является спецификой численной относительности. Эта калибровочная свобода — не влияющая на физические процессы, а лишь изменяющая их описание в терминах координат и, соответственно, решаемые уравнения — проявляется в произвольности выбора функций хода и сдвига , «толкающих» точки с фиксированными пространственными координатами с начальной на соседнюю гиперповерхность вперёд по времени — , и вбок в пространстве — , соответственно. Возможность выбора этих функций — потенциальное преимущество для численного решения уравнений, но многие «естественные» выборы этих координатных или калибровочных условий, как оказалось, вызывают численные неустойчивости решений, приводя к обрыву моделирований.

Во время публикации исходных работ по АДМ-формализму развитие компьютерной техники не позволяло проводить расчёты по их уравнениям для любой задачи сколь-нибудь разумных размеров. Исторически первая попытка численного решения уравнений Эйнштейна была предпринята Хан и Линдквистом в 1964 году, а затем в 1970-х годах и Эппли. Эти ранние попытки были связаны с эволюцией начальных данных Мизнера в аксиально-симметричных пространствах (известных также как «2+1-мерие»). Примерно в это же время Цви Пиран написал первый код, который прослеживал эволюцию цилиндрически-симметричной системы, испускающей гравитационное излучение. В этой разработке Пиран положил начало многим концепциям, используемым ныне в численной относительности, таким как свободная эволюция (free evolution) и ограниченная эволюция (constrained evolution) — это методы, которые по-разному подходят к проблеме эволюции ограничений начальных данных во времени. Применение симметрии снизило необходимые требования к памяти и вычислительной мощности, позволив учёным использовать для решения этой задачи тогдашние суперкомпьютеры.

Ранние результаты Первые реалистичные вычисления для настоящей астрофизической задачи — коллапса с вращением, были проведены в начале 1980-х годов Ричардом Старком и Цви Пираном, в них были впервые рассчитаны гравитационные волны, излучаемые формирующейся вращающейся чёрной дырой. За почти два десятилетия, прошедшие после этой публикации, были обнародованы лишь несколько новых результатов в области численной относительности, вероятно, из-за недостатка достаточно мощных для решения этих проблем компьютеров. В 1990-х Альянс «Великого вызова» по двойным чёрным дырам успешно моделировал лобовое столкновение двух чёрных дыр, используя упрощения, возникающие из-за аксиальной симметрии задачи. На этапе постобработки группа смогла вычислить горизонт событий для полученного решения.

Некоторые из первых известных попыток численных решений уравнений Эйнштейна в полной трёхмерной пространственной геометрии фокусировались на невращающейся шварцшильдовской чёрной дыре, которая представляет собой статическое и сферически-симметричное решение уравнений Эйнштейна. Оно представляет собой прекрасный тест для методов численной относительности, так как, во-первых, решение известно в точной аналитической форме, с которой можно сравнивать численные результаты, во-вторых, оно статическое и к нему должна сходиться любая невращающаяся чёрная дыра с течением времени, а в-третьих, оно содержит один из самых сложных объектов для численного моделирования — физическую гравитационную сингулярность в центре. Одна из первых попыток получить это решение численно была предпринята Анниносом и соавторами в 1995 году. В этой работе они отмечали: Прогресс в трёхмерной численной относительности частично замедляется отсутствием компьютеров с памятью и вычислительной мощностью, достаточной для проведения вычислений в трёхмерном пространстве с хорошим разрешением.

Развитие области За последующие годы помимо того, что компьютеры стали более мощными, различными исследовательскими группами были разработаны альтернативные техники для повышения эффективности вычислений. Сначала группа Lazarus разработала методы, которые использовали ранние результаты коротких моделирований, решавших нелинейные АДМ-уравнения для слияния чёрных дыр, для того, чтобы обеспечить начальные данные для более устойчивого кода, основанного на линеаризированных уравнениях теории возмущений одиночной чёрной дыры. Затем в отношении моделирования чёрных дыр были разработаны две техники, позволяющие избежать проблем, связанных с существованием физической сингулярности в решениях уравнений: (1) исключение и (2) метод «уколов». Сочетание этих методов с найденными подходящими координатными условиями позволило в 2005 году совершить прорыв в моделировании двойных чёрных дыр, началом которого была работа Преториуса. Через несколько лет численная устойчивость новых методов позволила моделировать уже практически произвольные конфигурации двойных чёрных дыр, описывающих до слияния десятки и сотни оборотов друг вокруг друга. Кроме того, в численной относительности стали применяться методы адаптивного измельчения расчётной сетки, которые ранее уже использовались в вычислительной гидродинамике.

Проект Lazarus