Число Коксетера — характеристика конечной неприводимой группы Коксетера. В случае, когда группа Коксетера является группой Вейля простой алгебры Ли , то говорят о числе Коксетера алгебры .
Понятие названо в честь Гарольда Коксетера.
Определение
Существует несколько эквивалентных определений этого числа. Число Коксетера равно количеству корней, делённому на ранг. Эквивалентно, число Коксетера равно удвоенному числу отражений в группе Коксетера, делённому на ранг. Если группа построена по простой алгебре Ли, то размерность этой алгебры равна n(h + 1), где n — ранг, и h — число Коксетера. Элементом Коксетера (иногда элементом Киллинга — Коксетера) называется произведение всех простых отражений (не путать с элементом группы Коксетера наибольшей длины). Числом Коксетера называется порядок элемента Коксетера. Если — разложение старшего корня по простым корням, то число Коксетера равно . Эквивалентно, если — такой элемент, что , то . Число Коксетера — это наибольшая из степеней базисных инвариантов группы Коксетера.
Таблица значений
Группа Коксетера и символ ШлефлиГраф КоксетераДиаграмма Дынкина Число Коксетера Двойственное число Коксетера Степени базисных инвариантов An[3,3...,3]...... n + 1 n + 1 2, 3, 4, ..., n + 1 Bn[4,3...,3]...... 2n 2n − 1 2, 4, 6, ..., 2n Cn... n + 1 Dn[3,3,..31,1]...... 2n − 2 2n − 2 n; 2, 4, 6, ..., 2n − 2 E6[32,2,1] 12 12 2, 5, 6, 8, 9, 12 E7[33,2,1] 18 18 2, 6, 8, 10, 12, 14, 18 E8[34,2,1] 30 30 2, 8, 12, 14, 18, 20, 24, 30 F4[3,4,3] 12 9 2, 6, 8, 12 G2 6 4 2, 6 H3[5,3] - 10 2, 6, 10 H4[5,3,3] - 30 2, 12, 20, 30 I2(p)[p] - p 2, p
Вариации и обобщения Дуальное число Коксетера В случае, когда группа Коксетера является группой Вейля простой алгебры Ли , можно ввести дуальное (двойственное) число Коксетера . Такое понятие, видимо, впервые появилось в статье Спрингера и Стейнберга 1970 года и часто встречается в теории представлений. Определить это число можно любым из следующих способов. Если — это полусумма положительных корней, а — это старший корень, то . Если — это старший из коротких корней, разложенный по простым корням, то . Удвоенное дуальное число Коксетера равно отношению двух инвариантных симметричных билинейных форм на алгебре Ли : формы Киллинга и формы, в которой старший корень имеет длину 2. По таблице выше.
Для алгебр Ли с простыми связями число Коксетера и дуальной число Коксетера совпадают. Дуальное число Коксетера не следует путать с числом Коксетера дуальной алгебры Ли.
Для значение уровня, равное , называется критическим, при этом значении универсальная обертывающая алгебра имеет большой центр.
Примечания
Ссылки Н. Бурбаки, Элементы математики, Группы и алгебры Ли, Главы IV-VI, М.: Мир, 1972. J. Humphreys, Reflection groups and Coxeter groups, Cambridge University Press, 1990. Etingof, Pavel I.; Frenkel, Igor; Kirillov, Alexander A. (1998), Lectures on Representation Theory and Knizhnik–Zamolodchikov Equations, Mathematical Surveys and Monographs 58, American Mathematical Society, ISBN 0821804960
Категория:Теория групп Категория:Группы Ли Категория:Алгебры Ли