Характеристическое число ядра интегрального уравнения — это комплексное значение , при котором однородное интегральное уравнение Фредгольма второго рода

имеет нетривиальное (то есть не равное тождественно нулю) решение , называемое собственной функцией. Здесь  — область в ,  — ядро интегрального уравнения. Характеристические числа — это величины, обратные собственным значениям интегрального оператора с ядром . Значения , не являющиеся характеристическими числами, называются регулярными. Если  — регулярное значение, интегральное уравнение Фредгольма второго рода

имеет единственное решение при любом свободном члене ; характеристические числа — это «особые точки», в которых решения не существует или существует бесконечно много решений в зависимости от свободного члена .

Свойства Характеристические числа непрерывного ядра обладают следующими свойствами: Множество характеристических чисел счётно и не имеет конечных предельных точек. Кратностью характеристического числа называется число отвечающих ему линейно независимых собственных функций. Кратность каждого характеристического числа конечна. Из первых двух свойств вытекает, что характеристические числа можно пронумеровать в порядке возрастания их модуля:

повторяя при этом число столько раз, какова его кратность.  — все характеристические числа союзного ядра . Если и , , то есть и  — собственные функции ядер и соответственно, то  — собственные функции ортогональны в пространстве . Повторное ядро имеет характеристические числа и те же собственные функции , что и ядро . Обратно, если и  — характеристическое число и соответствующая собственная функция повторного ядра , то по крайней мере один из корней уравнения является характеристическим числом ядра . Множество характеристических чисел эрмитова непрерывного ядра не пусто и расположено на вещественной оси, система собственных функций может быть выбрана ортонормированной. Характеристические числа совпадают с полюсами резольвенты. Вырожденное ядро имеет конечное число характеристических чисел. Непрерывное ядро Вольтерры не имеет характеристических чисел.

См. также Интегральное уравнение Фредгольма Интегральный оператор Фредгольма Ядро интегрального уравнения Резольвента интегрального уравнения Альтернатива Фредгольма Собственный вектор

Примечания

Литература

Категория:Интегральные уравнения Категория:Теория Фредгольма