Теорема Колмогорова — Хинчина о сходимости в теории вероятностей задает критерий сходимости с вероятностью единица бесконечного ряда случайных величин и может быть использована для доказательства теоремы Колмогорова о двух рядах
Формулировка теоремы Будем предполагать, что последовательность независимых случайных величин, и — множество тех элементарных исходов , где ряд сходится к конечному пределу.
Первая часть Пусть . Тогда, если , то ряд сходится с вероятностью единица.
Вторая часть Если к тому же случайные величины равномерно ограничены: , то верно и обратное: из сходимости с вероятностью единица ряда следует первая часть.
Доказательство Первой части Последовательность , сходится с вероятностью единица тогда и только тогда, когда эта последовательность фундаментальна с вероятностью единица, то есть
В силу неравенства Колмогорова:
Поэтому, если , то выполнено , следовательно, ряд сходится с вероятностью единица.
Второй части Пусть ряд сходится. Тогда в силу для достаточно больших :
В силу неравенства Колмогорова .
Поэтому, если допустить, что , то получим
, что противоречит .
Примечания
Литература (Глава 4 § 2 раздел 1)
Категория:Ряды Категория:Теоремы теории вероятностей и математической статистики