Откры́тое мно́жество — это множество, каждый элемент которого входит в него вместе с некоторой окрестностью (в метрических пространствах и, в частности, на числовой прямой). Например, внутренность шара (без границы) является открытым множеством, а шар вместе с границей — не является открытым.
Термин «открытое множество» применяется к подмножествам топологических пространств и в этом случае никак не характеризует «само» множество (ни в смысле теории множеств, ни даже в смысле индуцированной на нём топологической структуры)open set на everything2.com. Открытое множество является фундаментальным понятием общей топологии.
Евклидово пространство Пусть есть некоторое подмножество евклидова пространства. Тогда называется открытым, если такое что , где — ε-окрестность точки
Иными словами, множество открыто, если любая его точка является внутренней.
Например, интервал как подмножество действительной прямой является открытым множеством. В то же время отрезок или полуинтервал не являются открытыми, так как точка принадлежит множеству, но ни одна её окрестность в этом множестве не содержится.
Метрическое пространство
Пусть — некоторое метрическое пространство, и . Тогда называется открытым, если такое что , где — ε-окрестность точки относительно метрики . Другими словами, множество в метрическом пространстве называется открытым множеством, если каждая точка множества входит в это множество вместе с некоторым открытым шаром с центром в точке Шилов Г. Е. Математический анализ. Специальный курс. — М.: Физматлит, 1961. — C. 29.
Топологическое пространство Обобщением приведённых выше определений является понятие открытого множества из общей топологии.
Топологическое пространство по определению содержит «перечень» своих открытых подмножеств — «топологию», определённую на . Подмножество , такое, что оно является элементом топологии (то есть ), называется открытым множеством относительно топологии .
Важный подкласс открытых множеств образуют канонически открытые множества, каждое из которых является внутренностью (открытым ядром) какого-либо замкнутого множества (и, следовательно, совпадает с внутренностью своего замыкания). Всякое открытое множество содержится в наименьшем канонически открытом множестве — им будет внутренность замыкания множества — C. 24—25..
История
Открытые множества были введены Рене-Луи Бэром в 1899 году.R. Baire. “Sur les fonctions de variables réelles”. Annali di Matematica Pura ed Applicata (1898-1922) 3.1 (1899), pp. 1–123.
См. также Замкнутое множество Граница подмножества
Примечания
Категория:Функциональный анализ Категория:Общая топология Категория:Математический анализ