Соты — это заполнение пространства непересекающимися многогранниками, при котором не остаётся незаполненного пространства. Это обобщение математического понятия мозаика или паркет на любую размерность.

Соты обычно рассматриваются в обычном евклидовом («плоском») пространстве. Их можно также построить в неевклидовых пространствах, например, гиперболические соты. Любой конечный однородный многогранник можно спроецировать на его описанную сферу, что даст однородные соты в сферическом пространстве.

Классификация Существует бесконечно много сот и они могут быть классифицированы лишь частично. Наиболее правильные мозаики получают наибольший интерес, хотя богатый и широкий набор других мозаик открывается вновь и вновь.

Простейшие соты формируются из слоёв призм, построенных из паркетов на плоскости. В частности, копии любого параллелепипеда могут заполнить пространство, при этом кубические соты являются специальным случаем, поскольку только они образуют правильные соты в обычном (евклидовом) пространстве. Другим интересным примером служит и его обобщения, которые также образуют мозаику в пространстве.

Однородные трёхмерные соты Трёхмерные однородные соты — это соты в трёхмерном пространстве, составленные из однородных многогранников имеющих одинаковые вершины (то есть группа изометрий трёхмерного пространства, сохраняющая мозаику, является транзитивной на вершинах). Существует 28 примеров выпуклых мозаик в трёхмерном евклидовом пространстве, называемых также .

Соты называются правильными, если группа изометрий, сохраняющая мозаику, действует транзитивно на флаги, где флаг — это вершина, лежащая на ребре, которое принадлежит грани (всё вместе). Любые правильные соты являются автоматически однородными. Однако существует всего один вид правильных сот в евклидовом трёхмерном пространстве — кубические соты. Двое сот являются квазиправильными (сделанными из двух типов правильных ячеек):

ТипКубические сотыКвазиправильные сотыЯчейкиКубическиеОктаэдральные и тетраэдральныеСлой Тетраэдрально-октаэдральные соты и повёрнутые тетраэдрально-октаэдральные соты состоят из слоёв, образованных 3-я или 2-я положениями тетраэдров и октаэдров. Бесконечное число уникальных сот можно получить путём разного чередования этих слоёв.

Заполняющие пространство многогранники О трёхмерных сотах, имеющих все ячейки идентичными, включая симметрию, говорят как о или изохорных. Об ячейке таких сот говорят как о заполняющих пространство многогранниках.

Только пять заполняющих пространство многогранников могут заполнить 3-мерное евклидово пространство с использованием только параллельного переноса. Их называют параллелогранниками: Кубические соты (или вариации: прямоугольный параллелепипед, ромбический шестигранник или параллелепипед); Шестиугольные призматические соты Однородные заполняющие пространство призмы на основе треугольника, квадрата и шестиугольника; Ромбододекаэдральные соты; Однородные заполняющие пространство ромбо-шестиугольные додекаэдры; Однородные заполняющие пространство усечённые октаэдры.

Кубические сотыШестиугольные призматические сотыРомбододекаэдрКуб(параллелепипед)Шестиугольная призмаРомбододекаэдрУдлинённый додекаэдрУсечённый октаэдр3 длины рёбер3+1 длины рёбер4 длины рёбер4+1 длины рёбер6 длины рёбер

Другие известные примеры: Треугольные призматические соты. Однородные повёрнутые треугольные призматические соты . Ячейки мозаики Вороного атомов углерода в алмазе имеют такой видVoronoi Polyhedron. . Простые изоэдричечкие мозаики.

Другие соты с двумя и более многогранниками Иногда два Gabbrielli, Ruggero. A thirteen-sided polyhedron which fills space with its chiral copy. и более различных многогранника можно скомбинировать, чтобы заполнить пространство. Хорошо известным примером служит , заимствованная из структуры кристаллов клатратного гидрата.

(с двумя типами ячеек)

Невыпуклые трёхмерные соты Документированные примеры редки. Можно различить два класса: невыпуклые ячейки, упакованные без наложения, аналогично мозаикам из вогнутых многоугольников; они включают малые как в кубе Ёсимото; мозаики с наложением ячеек, при котором положительные и отрицательные плотности «уничтожаются» с образованием однородного по плотности континуума, аналогично мозаикам с наложением на плоскости.

Гиперболические соты В трёхмерном гиперболическом пространстве двугранный угол многогранника зависит от размера многогранника. Правильные гиперболические соты включают два вида с четырьмя или пятью додекаэдрами, имеющими общие рёбра. Их двугранные углы тогда будут π/2 и 2π/5, оба меньше, чем у евклидова додекаэдра. За исключением этого эффекта гиперболические соты удовлетворяют тем же ограничениям, что и евклидовы соты и многогранники.

Исследованы 4 вида компактных правильных гиперболических сот и много .

Двойственность сот в трёхмерном пространстве Для любых сот имеются двойственные соты, которые могут быть получены обменом: ячеек на вершины. граней на рёбра.

Для правильных сот: Кубические соты самодвойственны. Соты, состоящие из октаэдров и тетраэдров, дуальны сотам из ромбических додекаэдров. Слоистые соты, полученные из однородных плоских мозаик, дуальны таким же, полученным из двойственных мозаик. Двойственные соты к остальным архимедовым сотам являются ячейно-транзитивными и описаны в статье Инчбальда.

Самодвойственные соты Соты могут быть самодвойственными. Все n-мерные гиперкубические соты с символами Шлефли {4,3n−2,4} самодвойственны.

См. также

Примечания

Литература

Ссылки Glossary For Hyperspace Five space-filling polyhedra, Guy Inchbald The Archimedean honeycomb duals, Guy Inchbald, The Mathematical Gazette 80, November 1996, p.p. 466—475. Raumfueller (Space filling polyhedra) by T.E. Dorozinski

Категория:Соты (геометрия) Категория:Многогранники