Тождество параллелограмма — одно из равенств в векторной алгебре и векторном анализе.
В евклидовой геометрии Сумма квадратов длин сторон параллелограмма равна сумме квадратов длин его диагоналей.
В пространствах со скалярным произведением
В векторных пространствах со скалярным произведением это тождество выглядит так:
где
В нормированных пространствах (поляризационное тождество) В нормированном пространстве (V, ), для которого справедливо тождество параллелограмма, можно ввести скалярное произведение , порождающее эту норму, то есть такое что всех векторов пространства . Эта теорема приписывается Фреше, фон Нейману и Йордану. Это можно сделать следующем способом: для действительного пространства или или для комплексного пространства
Вышеуказанные формулы, выражающие скалярное произведение двух векторов в терминах нормы, называются поляризационным тождеством.
Очевидно, что норма, выраженная через любое скалярное произведение следующим образом , будет удовлетворять этому тождеству.
Поляризационное тождество часто используется для превращения банаховых пространств в гильбертовы.
Обобщение Если B — симметричная билинейная форма в векторном пространстве, а квадратичная форма Q выражена как , тогда
См. также Теорема Эйлера о четырёхугольниках — обобщение тождества на случай произвольных четырёхугольников.
Примечания
Ссылки Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве / Векторная алгебра
Литература
Категория:Евклидова геометрия Категория:Функциональный анализ П