Однородный многогранник

Однородный многогранник — многогранник, грани которого являются правильными многоугольниками, и он вершинно транзитивен (транзитивен относительно вершин, а также изогонален, то есть имеется движение, переводящее вершину в любую другую). Отсюда следует, что все вершины конгруэнтны, и многогранник имеет высокую степень зеркальной и вращательной симметрии.

Однородные многогранники можно разделить на выпуклые формы с гранями в виде выпуклых правильных многоугольников и звёздчатые формы. Звёздчатые формы имеют грани в виде правильных звёздчатых многоугольников, вершинных фигур или обоих видов вместе.

Список включает: все 75 непризматических однородных многогранников; некоторых представителей бесконечного множества призм и антипризм; один специальный случай, многогранник Скиллинга с пересекающимися рёбрами.

В 1970-м году советским ученым Соповым доказано, что существует только 75 однородных многогранников, не входящих в бесконечные серии призм и антипризм. Джон Скиллинг (John Skilling) открыл ещё один многогранник, ослабив условие, что ребро может принадлежать только двум граням. Некоторые авторы не считают этот многогранник однородным, поскольку некоторые пары рёбер совпадают.

Не включены: 40 потенциальных однородных многогранников с вырожденными вершинными фигурами, имеющих пересекающиеся рёбра (не перечислены Коксетером); Однородные мозаики (бесконечные многогранники) 11 евклидовых 14 евклидовых Бесконечное число однородных мозаик на гиперболической плоскости.

Нумерация Используются четыре схемы нумерации однородных многогранников, различающихся буквами: [C] Коксетер с соавторами (1954). Список содержит выпуклые виды с номерами от 15 до 32, три призматических вида (номера 33—35) и невыпуклые виды (номера 36—92). [W] Веннинджер (1974). Список содержит 119 фигур: номера 1—5 для платоновых тел, 6—18 для архимедовых тел, 19—66 для звёздчатых видов, включая 4 правильных невыпуклых многогранника и 67—119 для невыпуклых однородных многогранников. [K] Kaleido (программаKaleidoscopic Construction of Uniform Polyhedra, Dr. Zvi Har’El, 1993). Список содержит 80 фигур, номера сгруппированы по симметрии: 1—5 представляют бесконечные серии призматических форм с диэдральной симметрией, 6—9 с тетраэдральной симметрией, 10—26 с , 46—80 с икосаэдральной симметрией. [U] Mathematica (программа, 1993). В программе, в общем, используется та же нумерации, что и в программе Kaleido, только первые 5 призматических вида перенесены в конец списка, так что непризматические виды получили номера 1—75.

Список многогранников Выпуклые формы перечислены в порядке степени вершинных конфигураций от 3 граней/вершин и далее, и по увеличению сторон у грани. Это упорядочение позволяет показать топологическую схожесть.

Выпуклые однородные многогранники Название Рисунок Тип вершинной конфигурацииСимволВитхоффаСимм. C# W# U# K#Вер-шинРё-берГра-нейПлот-ностьГраней по типам Тетраэдр 3.3.3 3 | 2 3 Td C15W001 U01 K06 4 6 4 2 1 4{3} Треугольная призма 3.4.4 2 3 | 2 D3hC33a -- U76a K01a 6 9 5 2 1 2{3}+3{4} Усечённый тетраэдр 3.6.6 2 3 | 3 TdC16 W006 U02 K07 12 18 8 2 1 4{3}+4{6} Усечённый куб 3.8.8 2 3 | 4 OhC21 W008 U09 K14 24 36 14 2 1 8{3}+6{8} Усечённый додекаэдр 3.10.10 2 3 | 5 IhC29 W010 U26 K31 60 90 32 2 1 20{3}+12{10} Куб 4.4.4 3 | 2 4 OhC18 W003 U06 K11 8 12 6 2 1 6{4} Пятиугольная призма 4.4.5 2 5 | 2 D5hC33b -- U76b K01b 10 15 7 2 1 5{4}+2{5} Шестиугольная призма 4.4.6 2 6 | 2 D6hC33c -- U76cK01c 12 18 8 2 1 6{4}+2{6} Восьмиугольная призма 4.4.8 2 8 | 2 D8hC33e -- U76e K01e 16 24 10 2 1 8{4}+2{8} Десятиугольная призма 4.4.10 2 10 | 2 D10hC33g -- U76g K01g 20 30 12 2 1 10{4}+2{10} 4.4.12 2 12 | 2 D12hC33i -- U76i K01i 24 36 14 2 1 12{4}+2{12} Усечённый октаэдр 4.6.6 2 4 | 3 OhC20 W007 U08 K13 24 36 14 2 1 6{4}+8{6} Усечённый кубооктаэдр 4.6.8 2 3 4 | OhC23 W015 U11 K16 48 72 26 2 1 12{4}+8{6}+6{8} Ромбоусечённый икосододекаэдр 4.6.10 2 3 5 | IhC31 W016 U28 K33 120 180 62 2 1 30{4}+20{6}+12{10} Додекаэдр 5.5.5 3 | 2 5 IhC26 W005 U23 K28 20 30 12 2 1 12{5} Усечённый икосаэдр 5.6.6 2 5 | 3 IhC27 W009 U25 K30 60 90 32 2 1 12{5}+20{6} Октаэдр 3.3.3.3 4 | 2 3 Oh C17W002 U05 K10 6 12 8 2 1 8{3} Квадратная антипризма 3.3.3.4 | 2 2 4 D4dC34a -- U77a K02a 8 16 10 2 1 8{3}+2{4} Пятиугольная антипризма 3.3.3.5 | 2 2 5 D5dC34b -- U77b K02b 10 20 12 2 1 10{3}+2{5}Шестиугольная антипризма 3.3.3.6 | 2 2 6 D6dC34c -- U77c K02c 12 24 14 2 1 12{3}+2{6} 3.3.3.8 | 2 2 8 D8dC34e -- U77e K02e 16 32 18 2 1 16{3}+2{8} 3.3.3.10 | 2 2 10 D10dC34g -- U77gK02g 20 40 22 2 1 20{3}+2{10} 3.3.3.12 | 2 2 12 D12dC34i -- U77iK02i 24 48 26 2 1 24{3}+2{12} Кубооктаэдр 3.4.3.4 2 | 3 4 OhC19 W011 U07 K12 12 24 14 2 1 8{3}+6{4} Ромбокубооктаэдр 3.4.4.4 3 4 | 2 OhC22 W013 U10 K15 24 48 26 2 1 8{3}+(6+12){4} Ромбоикосододекаэдр 3.4.5.4 3 5 | 2 IhC30 W014 U27 K32 60 120 62 2 1 20{3}+30{4}+12{5} Икосододекаэдр 3.5.3.5 2 | 3 5 IhC28 W012 U24 K29 30 60 32 2 1 20{3}+12{5} Икосаэдр 3.3.3.3.3 5 | 2 3 IhC25 W004 U22 K27 12 30 20 2 1 20{3} Плосконосый куб 3.3.3.3.4 | 2 3 4 OC24 W017 U12 K17 24 60 38 2 1 (8+24){3}+6{4} Плосконосый додекаэдр 3.3.3.3.5 | 2 3 5 IC32 W018 U29 K34 60 150 92 2 1 (20+60){3}+12{5}

Однородные звёздчатые многогранники Название РисунокСимволВитхоффаТип вершинной конфигурацииСимм. C# W# U# K#Вер-шинРё-берГра-нейПлот-ностьГраней по типам 3/2 3 | 3 6.3/2.6.3 Oh C37W068 U03 K08 12 24 12 0 8{3}+4{6} Тетрагемигексаэдр 3/2 3 | 2 4.3/2.4.3 Td C36W067 U04 K09 6 12 7 1 4{3}+3{4} 4/3 4 | 3 6.4/3.6.4 Oh C51W078 U15 K20 12 24 10 -2 6{4}+4{6} Большойдодекаэдр 5/2 | 2 5 (5.5.5.5.5)/2 Ih C44W021 U35 K40 12 30 12 -6 3 12{5} Большойикосаэдр 5/2 | 2 3 (3.3.3.3.3)/2 Ih C69W041 U53 K58 12 30 20 2 7 20{3} 3/2 | 3 5 (5.3.5.3.5.3)/2 Ih C61W087 U47 K52 20 60 32 -8 6 20{3}+12{5} 2 4 (3/2 4/2) | 4.8.4/3.8 Oh C60W086 U18 K23 24 48 18 -6 12{4}+6{8} 3/2 4 | 4 8.3/2.8.4 Oh C38W069 U13 K18 24 48 20 -4 2 8{3}+6{4}+6{8} 3/2 4 | 2 4.3/2.4.4 Oh C59W085 U17 K22 24 48 26 2 5 8{3}+(6+12){4} 5/4 5 | 5 10.5/4.10.5 Ih C65W091 U51 K56 30 60 18 -12 12{5}+6{10} 5/4 5 | 3 6.5/4.6.5 IhC81 W102 U65 K70 30 60 22 -8 12{5}+10{6} 3/2 3 | 5 10.3/2.10.3 Ih C63W089 U49 K54 30 60 26 -4 20{3}+6{10} 3 5 (3/2 5/4) | 10.6.10/9.6/5 Ih C64W090 U50 K55 60 120 32 -28 20{6}+12{10} 2 5 (3/2 5/2) | 10.4.10/9.4/3 Ih C46W074 U39 K44 60 120 42 -18 30{4}+12{10} 3/2 5 | 5 10.3/2.10.5 IhC42 W072 U33 K38 60 120 44 -16 2 20{3}+12{5}+12{10} 2 3 (5/4 5/2) | 6.4.6/5.4/3 IhC72 W096 U56 K61 60 120 50 -10 30{4}+20{6} 3/2 5 | 3 6.3/2.6.5 Ih C62W088 U48 K53 60 120 52 -8 6 20{3}+12{5}+20{6} Пентаграммнаяпризма 2 5/2 | 2 5/2.4.4 D5h C33b -- U78a K03a 10 15 7 2 2 5{4}+2{5/2} 2 7/2 | 2 7/2.4.4 D7h C33d -- U78b K03b 14 21 9 2 2 7{4}+2{7/2} 2 7/3 | 2 7/3.4.4 D7h C33d -- U78c K03c 14 21 9 2 3 7{4}+2{7/3} 2 8/3 | 2 8/3.4.4 D8h C33e -- U78d K03d 16 24 10 2 3 8{4}+2{8/3} | 2 2 5/2 5/2.3.3.3 D5h C34b -- U79a K04a 10 20 12 2 2 10{3}+2{5/2} | 2 2 5/3 5/3.3.3.3 D5d C35a-- U80a K05a 10 20 12 2 3 10{3}+2{5/2} | 2 2 7/2 7/2.3.3.3D7hC34d--U79bK04b1428162314{3}+2{7/2} | 2 2 7/3 7/3.3.3.3D7dC34d--U79cK04c1428162314{3}+2{7/3} | 2 2 7/4 7/4.3.3.3D7hC35b--U80bK05b1428162414{3}+2{7/3} | 2 2 8/3 8/3.3.3.3D8dC34e--U79dK04d1632182316{3}+2{8/3} | 2 2 8/5 8/5.3.3.3D8dC35c--U80cK05c1632182516{3}+2{8/3} Малыйзвёздчатыйдодекаэдр 5 | 2 5/2 (5/2)5 Ih C43W020 U34 K39 12 30 12 -6 3 12{5/2} Большойзвёздчатыйдодекаэдр 3 | 2 5/2 (5/2)3Ih C68W022 U52 K57 20 30 12 2 7 12{5/2} 3 | 5/3 5 (5/3.5)3Ih C53W080 U41 K46 20 60 24 -16 4 12{5}+12{5/2} 3 | 5/2 3 (5/2.3)3 Ih C39W070 U30 K35 20 60 32 -8 2 20{3}+12{5/2} 2 3 | 4/3 8/3.8/3.3Oh C66W092 U19 K24 24 36 14 2 7 8{3}+6{8/3} Большойромбогексаэдр 2 4/3 (3/2 4/2) | 4.8/3.4/3.8/5 Oh C82W103 U21 K26 24 48 18 -6 12{4}+6{8/3} 3 4 | 4/3 8/3.3.8/3.4 Oh C50W077 U14 K19 24 48 20 -4 4 8{3}+6{4}+6{8/3} 5/35/2 | 5/3 10/3.5/3.10/3.5/2 Ih C86W107 U70 K75 30 60 18 -12 12{5/2}+6{10/3} 5/35/2 | 3 6.5/3.6.5/2 Ih C78W100 U62 K67 30 60 22 -8 12{5/2}+10{6} Додекододекаэдр 2 | 5/2 5 (5/2.5)2 Ih C45W073 U36 K41 30 60 24 -6 3 12{5}+12{5/2} 3/2 3 | 5/3 10/3.3/2.10/3.3 Ih C85W106 U71 K76 30 60 26 -4 20{3}+6{10/3} Большой икосо-додекаэдр 2 | 5/2 3 (5/2.3)2 Ih C70W094 U54 K59 30 60 32 2 7 20{3}+12{5/2} 4/3 3 4 | 8/3.6.8 Oh C52W079 U16 K21 48 72 20 -4 4 8{6}+6{8}+6{8/3} 4/3 2 3 | 8/3.4.6/5 Oh C67W093 U20 K25 48 72 26 2 1 12{4}+8{6}+6{8/3} 2 5/2 | 5 10.10.5/2 Ih C47W075 U37 K42 60 90 24 -6 3 12{5/2}+12{10} 2 5 | 5/3 10/3.10/3.5 Ih C74W097 U58 K63 60 90 24 -6 9 12{5}+12{10/3} 2 3 | 5/3 10/3.10/3.3 Ih C83W104 U66 K71 60 90 32 2 13 20{3}+12{10/3} 2 5/2 | 3 6.6.5/2Ih C71W095 U55 K60 60 90 32 2 7 12{5/2}+20{6} 3 5/3(3/2 5/2) | 6.10/3.6/5.10/7 Ih C79W101 U63 K68 60 120 32 -28 20{6}+12{10/3} 2 5/3 (3/2 5/4) | 4.10/3.4/3.10/7 Ih C89W109 U73 K78 60 120 42 -18 30{4}+12{10/3} 5/3 5 | 3 6.5/3.6.5Ih C56W083 U44 K49 60 120 44 -16 4 12{5}+12{5/2}+20{6} 5/3 3 | 5 10.5/3.10.3 Ih C55W082 U43 K48 60 120 44 -16 4 20{3}+12{;5/2}+12{10} 3 5 | 5/3 10/3.3.10/3.5 Ih C54W081 U42 K47 60 120 44 -16 4 20{3}+12{5}+12{10/3} 5/2 3 | 5/3 10/3.5/2.10/3.3 Ih C77W099 U61 K66 60 120 44 -16 10 20{3}+12{5/2}+12{10/3} 5/2 3 | 3 6.5/2.6.3 Ih C40W071 U31 K36 60 120 52 -8 2 20{3}+12{5/2}+20{6} 5/2 5 | 2 4.5/2.4.5 Ih C48W076 U38 K43 60 120 54 -6 3 30{4}+12{5}+12{5/2} 5/3 3 | 2 4.5/3.4.3 Ih C84W105 U67 K72 60 120 62 2 13 20{3}+30{4}+12{5/2} 5/3 3 5 | 10/3.6.10Ih C57W084 U45 K50 120 180 44 -16 4 20{6}+12{10}+12{10/3} 5/3 2 5 | 10/3.4.10/9 Ih C75W098 U59 K64 120 180 54 -6 3 30{4}+12{10}+12{10/3} 5/3 2 3 | 10/3.4.6Ih C87W108 U68 K73 120 180 62 2 13 30{4}+20{6}+12{10/3} | 2 5/2 5 3.3.5/2.3.5 I C49W111 U40 K45 60 150 84 -6 3 60{3}+12{5}+12{5/2} | 5/3 2 5 35/3.3.3.5I C76W114 U60 K65 60 150 84 -6 9 60{3}+12{5}+12{5/2} | 2 5/2 3 34.5/2 I C73W116 U57 K62 60 150 92 2 7 (20+60){3}+12{5/2} | 5/3 2 3 33.5/3 I C88W113 U69 K74 60 150 92 2 13 (20+60){3}+12{5/2} Большойвывернутыйобратноплосконосыйикосододекаэдр | 3/25/3 2 (34.5/2)/2 I C90W117 U74 K79 60 150 92 2 37 (20+60){3}+12{5/2} | 5/35/2 3 33.5/3.3.5/2I C80W115 U64 K69 60 180 104 -16 10 (20+60){3}+(12+12){5/2} | 5/3 3 5 33.5.5/3 I C58W112 U46 K51 60 180 104 -16 4 (20+60){3}+12{5}+12{5/2} | 5/2 3 3 35.5/2 Ih C41W110 U32 K37 60 180 112 -8 2 (40+60){3}+12{5/2} | 3/23/25/2 (35.5/3)/2Ih C91W118 U72 K77 60 180 112 -8 38 (40+60){3}+12{5/2} | 3/25/3 3 5/2 (4.5/3.4.3. 4.5/2.4.3/2)/2 Ih C92W119 U75 K80 60 240 124 -56 40{3}+60{4}+24{5/2}

Особый случай Название поБауэру(Bower)РисунокСимволВитхоффаВершинная конфигурацияГруппасимметрии C#W# U# K#ВершинРёберГранейПлот-ностьГраней по типам | (3/2) 5/3 (3) 5/2 (5/2.4.3.3.3.4. 5/3.4.3/2.3/2.3/2.4)/2 Ih ---- -- -- 60 240 (*) 204 24 120{3}+60{4}+24{5/2}

(*): В Большом биплосконосом биромбододекаэдре 120 из 240 рёбер принадлежат четырём граням. Если эти 120 рёбер считать как две пары совпадающих рёбер, где каждое ребро принадлежит только двум граням, то всего будет 360 рёбер и эйлерова характеристика становится равной −88. Ввиду этой вырожденности рёбер многогранник не всеми признаётся как однородный.

Обозначения в колонках U# — Однородные номера: U01—U80 (Тетраэдр первый, Призмы с номерами 76+) K# — Kaleido software номера: K01—K80 (Kn = Un-5 для n = 6 to 80) (призмы 1—5, тетраэдр и далее 6+) W# — Модели Магнуса Веннинджера: W001—W119 1—18 — 5 выпуклых правильных и 13 выпуклых полуправильных 20—22, 41 — 4 невыпуклые правильные 19—66 — 48 звёздчатых форм/соединений (нерегулярные не даны в этом списке) 67—109 — 43 невыпуклых остроносых однородных многогранников 110—119 — 10 невыпуклых плосконосых однородных многогранников  — эйлерова характеристика. Однородные мозаики на плоскости соответствуют топологии тора с эйлеровой характеристикой ноль. Плотность — представляет число оборотов многогранника вокруг центра. Число отсутствует для неориентируемых многогранников и для (многогранников, имеющих грани, проходящие через центр многогранника), для которых нет чёткого определения плотности. Замечание о рисунках вершинных фигур: