Квазипра́вильный многогра́нник (от  «наподобие», «нечто вроде») — полуправильный многогранник, который имеет в точности два вида правильных граней, поочерёдно следующих вокруг каждой вершины. Эти многогранники , а потому на шаг ближе к правильным многогранникам, чем полуправильные, которые лишь вершинно транзитивны.

+ Квазиправильные фигуры(3.3)2(3.4)2(3.5)2(3.6)2(3.7)2(3.8)2(3.∞)2r{3,3}r{3,4}r{3,5}r{3,6}Квазиправильные многогранники или мозаики имеют в точности два типа правильных граней, которые располагаются поочерёдно вокруг каждой вершины. Их вершинные фигуры являются прямоугольниками.

Существует только два выпуклых квазиправильных многогранника, кубооктаэдр и икосододекаэдр. Имена этих многогранников, данные Кеплером, происходят от понимания, что их грани содержат все грани двойственной пары куба и октаэдра в первом случае, и двойственной пары икосаэдра и додекаэдра во втором.

Эти формы, представленные парой (правильным многогранником и двойственным ему), могут быть заданы вертикальным символом Шлефли или r{p, q} для представления граней как правильного {p, q}, так и двойственного {q, p} многогранников. Квазиправильный многогранник с этим символом имеет p.q.p.q (или (p.q)2).

В более общем случае квазиправильные фигуры могут иметь (p.q)r, представляющую r (2 или более) граней разного вида вокруг вершины.

Мозаики на плоскости могут быть также квазиправильными, в частности тришестиугольная мозаика с вершинной конфигурацией (3.6)2. существуют в гиперболической плоскости, например, (3.7)2. Сюда входят мозаики (p.q)2, с 1/p+1/q<1/2.

Некоторые правильные многогранники и мозаики (имеющие чётное число граней в каждой вершине) могут также рассматриваться как квазиправильные путём разделения граней на два множества (как если бы мы их выкрасили в разные цвета). Правильная фигура с символом Шлефли {p, q} может быть квазиправильной и будет иметь вершинную кофигурацию (p.p)q/2, если q чётно. + Правильные и квазиправильные фигурыПрямоугольные треугольники (p p 2)Фундаментальная область в виде прямоугольного треугольника{3,4}r{3,3}{4,4}r{4,4}{5,4}r{5,5}{6,4}r{6,6}{7,4}r{7,7}{8,4}r{8,8}{∞,4}r{∞,∞}(3.3)2(4.4)2Квадратный паркетТреугольники общего вида (p p 3)Фундаментальная область в виде треугольника общего вида{3,6}(3.3)3(4.4)3(5.5)3(6.6)3(7.7)3(8.8)3(∞.∞)3 Треугольники общего вида (p p 4)(3.3)4(4.4)4(5.5)4(6.6)4(7.7)4(8.8)4(∞.∞)4Правильный многогранник или мозаика могут считаться квазиправильными, если они имеют чётное число граней при каждой вершине (а потому могут быть выкрашены в два цвета, чтобы соседние грани имели разные цвета).

Октаэдр можно считать квазиправильным как тетратетраэдр, (3a.3b)2, с раскрашенными попеременно треугольными гранями. Подобным же образом квадратную мозаику (4a.4b)2 можно считать квазиправильной, если раскрасить в стиле шахматной доски. Также и грани треугольной мозаики могут быть выкрашены в два альтернативных цвета, (3a.3b)3.

Построение Витхоффа Правильные (p | 2 q) и квазиправильные многогранники (2 | p q) получаются построением Витхоффа с генераторной точкой на одном из 3 углов фундаментальной области. Это задаёт единственное ребро внутри фундаментальной области.

Коксетер определяет квазиправильный многогранник как многогранник, имеющий вида p | q r, и он будет правильным, если q=2 или q=r .

Диаграммы Коксетера — Дынкина является другой формой символического представления, которое позволяет показать связь между двумя двойственно-правильными формами: Символ ШлефлиДиаграммы Коксетера — Дынкина{p, q}q | 2 p{q, p} p | 2 q r{p, q} 2 | p q

Выпуклые квазиправильные многогранники

Существует два выпуклых квазиправильных многогранника: Кубооктаэдр , вершинная конфигурация (3.4)2, диаграмма Коксетера — Дынкина Икосододекаэдр , вершинная конфигурация (3.5)2, диаграмма Коксетера — Дынкина

Кроме того, октаэдр, являющийся также правильным, , с вершинной конфигурацией (3.3)2, может также считаться квазиправильным, если соседним граням дать различные цвета. В таком виде его иногда называют тетратетраэдром. Оставшиеся выпуклые правильные многогранники имеют нечётное число граней при каждой вершине и не могут быть выкрашены так, чтобы обеспечить транзитивность рёбер. Тетратетраэдр имеет диаграмму Коксетера — Дынкина .

Каждый из них образует общее ядро двойственной пары правильных многогранников. Имена (двух из) этих ядер напоминают о связанных двойственных парах, соответственно куб + октаэдр и икосаэдр + додекаэдр. Октаэдр является ядром двойственной пары тетраэдров, и при таком способе получения обычно называют его тетратетраэдром.

ПравильныйДвойственныйправильныйКвазиправильныйВершинная фигура 2 3 2 3 3 33.3.3.3 2 4 2 3 3 43.4.3.4 2 5 2 3 3 53.5.3.5

Каждый из этих квазиправильных многогранников можно построить с помощью полного усечения любого из родителей, усекая рёбра полностью, пока они не превратятся в точки.

Квазиправильные мозаики Эту последовательность продолжает тришестиугольная мозаика с вершинной фигурой 3.6.3.6 — квазиправильная мозаика, основанная на треугольной мозаике и шестиугольной мозаике.

Правильный многоугольникДвойственный правильныйКвазиправильныйВершинная фигура 2 3 2 6 3 63.6.3.6

Рисунок шахматной доски является квазиправильной раскраской квадратной мозаики с вершинной фигурой 4.4.4.4: Правильный многоугольникДвойственный правильныйКвазиправильныйВершинная фигура 2 4 2 4 4 44.4.4.4

Треугольную мозаику можно также считать квазиправильной, с тремя множествами альтернированных треугольников в каждой вершине, (3.3)3: h{6,3}3 | 3 3 =

На гиперболической плоскости (плоскости Лобачевского) эта последовательность продолжается дальше, например, с вершинной фигурой 3.7.3.7 — это квазиправильная мозаика, основанная на треугольной мозаике 7-го порядка и семиугольной мозаике. Правильный многоугольникДвойственный правильныйКвазиправильныйВершинная фигура 2 3 2 7 3 73.7.3.7

Невыпуклые примеры

Коксетер и др. (1954) классифицировали также некоторые звёздчатые многогранники, имеющие квазиправильные характеристики:

Два многогранника основываются на двойственных парах правильных тел Кеплера — Пуансо.

Большой икосододекаэдр и додекододекаэдр :

ПравильныйДвойственный правильныйКвазиправильныйВершинная фигура 2 5/2 2 3 3 5/23.5/2.3.5/2 2 5/2 2 5 5 5/25.5/2.5.5/2

Наконец, существует три вида, вершинные фигуры которых содержат три перемежающихся типа граней: РисунокНазвание многогранникаДиаграммаКоксетераВершинная фигура 3 | 5/3 5 or (5.5/3)3 3 | 5/2 3 or (3.5/2)3 3/2 | 3 5 or ((3.5)3)/2

Квазиправильные двойственные

Некоторые авторы высказывают мнение, что, поскольку двойственные многогранники к квазиправильным имеют те же симметрии, эти двойственные тела тоже следует считать квазиправильными, но не все математики придерживаются такого мнения. Эти двойственные многогранники транзитивны относительно своих рёбер и граней (но не вершин). Они являются рёберно транзитивными . Выпуклые формы, согласно порядку многогранника (как выше): Ромбододекаэдр с двумя типами перемежающихся вершин, 8 вершин с тремя ромбическими гранями, и 6 вершин с четырьмя ромбическими гранями. Ромботриаконтаэдр с двумя типами перемежающихся вершин, 20 вершин с тремя ромбическими гранями, и 12 вершин с пятью ромбическими гранями.

Кроме того, будучи двойственным октаэдру, куб, являющийся правильным, может быть сделан квазиправильным, если раскрасить его вершины в два цвета, так, чтобы вершины на одном ребре имели разные цвета.

Их конфигурация грани имеет вид V3.n.3.n, а диаграмма Коксетера — Дынкина КубV(3.3)2РомбододекаэдрV(3.4)2Ромботри-аконтаэдрV(3.5)2Ромбическая мозаикаV(3.6)2V(3.7)2V(3.8)2

Эти три квазиправильных двойственных многогранника характерны наличием ромбических граней.

Эта ромбическая структура граней продолжает V(3.6)2, ромбическая мозаика.

Квазиправильные многогранники в 4-мерном пространстве и квазиправильные соты

В евклидовом 4-мерном пространстве правильный шестнадцатиячейник можно считать квазиправильным как альтернированный тессеракт, h{4,3,3}, Диаграммы Коксетера — Дынкина: = , состоящий из альтернированных тетраэдраэдральных и тетраэдральных ячеек. Его вершинная фигура — это квазиправильный тетратетраэдр (октаэдр с тетраэдральной симметрией), .

Единственные квазиправильные соты в евклидовом 3-мерном пространстве — , h{4,3,4}, диаграмма Коксетера — Дынкина: = , состоящие из альтернированных тетраэдральных и октаэдральных ячеек. Их вершинные фигуры являются квазиправильными кубооктаэдрами, .

В гиперболическом 3-мерном пространстве квазиправильными сотами являются , h{4,3,5}, диаграммы Коксетера — Дынкина: = , составленные из альтернированных тетраэдральных и икосаэдральных ячеек. Вершинная фигура — квазиправильный икосододекаэдр, . Связанные паракомпактные , h{4,3,6} имеют альтернированные тетраэдральные и шестиугольные мозаичные ячейки с вершинной фигурой, которая является тришестиугольной мозаикой, .

Можно уменьшить симметрию правильных многогранных сот вида {p,3,4} или как и получить квазиправильный вид , создавая попеременную раскраску {p,3} ячеек. Это можно сделать для евклидовых кубических сот {4,3,4} с кубическими ячейками, для компактных гиперболических сот {5,3,4} с додекаэдральными ячейками и паракомпактных сот {6,3,4} с конечными шестиугольными мозаичными ячейками. Они имеют четыре ячейки вокруг каждого ребра, попеременно выкрашенные в 2 цвета. Их вершинные фигуры — квазиправильные тетраэдры, = .

Таким же образом можно уменьшить вдвое симметрию правильных гиперболических сот вида {p,3,6} или как и получить квазиправильный вид , задавая попеременную раскраску {p,3} ячеек. Они имеют шесть ячеек вокруг каждого ребра, поочерёдно выкрашенные в 2 цвета. Их вершинные фигуры — квазиправильные треугольные мозаики, .

См. также Хиральный многогранник Полное усечение (геометрия)

Примечания

Литература

(стр.17 Глава 2.3: Quasi-Regular Polyhedra, стр. 69 Quasi-regular honeycombs p. 69 (Section 7, The regular and quasiregular polyhedra p | q r)

Ссылки

Quasi-regular polyhedra: (p.q)r George Hart, Quasiregular polyhedra

Категория:Квазиправильные многогранники