Уравнение Стейнхарта — Харта

Уравне́ние Сте́йнхарта — Ха́рта — математическая модель, описывающая сопротивление полупроводниковых терморезисторов с отрицательным температурным коэффициентом электрического сопротивления в зависимости от температуры.

В наиболее общем виде это уравнение:

где:  — абсолютная температура (в Кельвинах);  — сопротивление при температуре (в Омах); - коэффициенты уравнения Стейнхарта — Харта, зависящие от начального сопротивления терморезистора, его типа.

В практических расчётах членом суммы и последующими членами обычно пренебрегают так как они, как правило, вносят несущественный вклад в точность результата расчётов по уравнению.

Поэтому уравнение обычно записывают так:

где

Коэффициенты , , зависят от параметров терморезистора и от диапазона температур в котором это уравнение даёт достаточную для практического применения точность.

Обратное уравнение Для вычисления сопротивления терморезистора при заданной температуре используется обратное уравнение Стейнхарта — Харта:

где

Экспериментальное определение коэффициентов уравнения Стейнхарта — Харта Если коэффициенты уравнения неизвестны для конкретного терморезистора, то они могут определены экспериментально по трём сопротивлениям терморезистора при трёх разных температурах.

Коэффициенты находятся как решения системы из трёх уравнений:

где , и  — значения сопротивления при температуре , и соответственно.

Подстановки и решение системы:

Применение уравнения Уравнение позволяет по измеренному сопротивлению терморезистора вычислить его температуру и обратно — по температуре терморезистора вычислить его сопротивление и обеспечивает хорошую точность во всем рабочем диапазона температур, например, терморезистивного термометра.

Коэффициенты входящие в уравнение Стейнхарта — Харта обычно публикуются производителями терморезисторов в справочных данных на конкретные типы терморезисторов.

Скрипт на Ruby для расчета #!/usr/bin/env ruby

puts puts "\t\u2318\u2318 You're using Ruby ver. " + RUBY_VERSION + "\t\u2318\u2318"

$k = 273.15

E = ( Math::E )

def ln(x) ( ln = Math.log(x) ) end

def sqrt(x) ( sqrt = Math.sqrt(x) ) end

def cbrt(x) ( cbrt = Math.cbrt(x) ) end

def exp(x) ( exp = Math.exp(x) ) end

def arr_abc(t1, r1, t2, r2, t3, r3) y1 = 1 / t1; y2 = 1 / t2; y3 = 1 / t3 l1 = ln(r1); l2 = ln(r2); l3 = ln(r3)

g2 = (y2 - y1) / (l2 -l1) g3 = (y3 - y1) / (l3 -l1)

c = ((g3 -g2) / (l2 - l1)) / (l1 + l2 + l3) b = g2 - c * (l1 ** 2 + l1 * l2 + l2 ** 2) a = y1 - (b + c * l1 ** 2) * l1

arr_abc = [a, b, c] end

=begin # Прмер ввода экспериментальных данных:

t1 = 0 + $k; r1 = 32.014e+3 t2 = 40 + $k; r2 = 5.372e+3 t3 = 70 + $k; r3 = 1.7942e+3

=end # Расчёт:

tmp = arr_abc(t1, r1, t2, r2, t3, r3) a_t = tmp; b_t = tmp; c_t = tmp

#puts "A = #{a_t}, B = #{b_t}, C = #{c_t}"

=begin # Данные для проверки: t = 55; t = t + $k =end

x = (a_t - 1 / t) / c_t y = sqrt((b_t / (3 * c_t)) ** 3 + (x / 2) ** 2)

# Расчет сопротивления по температуре: r_tmp = exp( cbrt(y - (x / 2)) - cbrt(y + (x / 2)) )

puts "T = #{t - $k}°C, R = #{(r_tmp).round(1)} Ω"

# Расчет температуры по сопротивлению: t_r = 1 / (a_t + b_t * ln(r_tmp) + c_t * ((ln(r_tmp).abs) ** 3) )

puts "R = #{(r_tmp).round(1)} Ω, T = #{(t_r - $k).round(2)}°C" Результат: T = 55.0°C, R = 3052.2 Ω R = 3052.2 Ω, T = 55.0°C

Из datasheet для EPCOS R/T:4901; B25/100: 3950K — 3.0393 kΩ —

Авторы уравнения Уравнение названо в честь Джона Стейнхарта (John S. Steinhart) и Стэнли Харта (Stanley R. Hart), впервые опубликовавших его в 1968 г.John S. Steinhart, Stanley R. Hart, Calibration curves for thermistors, Deep Sea Research and Oceanographic Abstracts, Volume 15, Issue 4, August 1968, Pages 497—503, ISSN 0011-7471, .

Профессор Стейнхарт (1929—2003), член Американского Геофизического Союза и Американской ассоциации содействующей развитию науки, был членом факультета Висконсинского университета в Мадисоне с 1969 по 1991 гг.

Доктор Харт, старший научный сотрудник в Woods Hole Oceanographic Institution с 1989 и член Геологического сообщества Америки, Американского Геофизического Союза, геохимического сообщества и европейской ассоциации геохимии, работал с профессором Стейнхартом в институте Карнеги в Вашингтоне, где было предложено это уравнение.

Примечания

Ссылки Калькулятор уравнения Стейнхарта —Харта

Категория:Физика конденсированного состояния Стейнхарта — Харта Категория:Термометры