Четырёхугольник Саккери — четырёхугольник с двумя равными боковыми сторонами, перпендикулярными основанию. Назван в честь Джироламо Саккери, который использовал его в своей книге «Евклид, очищенный от всех пятен» (Euclides ab omni naevo vindicatus, впервые опубликована в 1733 году). Саккери в этой работе попытался доказать пятый постулат, используя метод «от противного».
Ранее, в конце XI века, четырёхугольник Саккери был также рассмотрен Омаром Хайямом.
В четырёхугольнике Саккери стороны и равны по длине и перпендикулярны к основанию . Углы при и называются верхними углами, два остальных угла — нижними.
Полезное свойство четырёхугольника Саккери заключается в том, что тип содержащей его плоскости однозначно определяется ответом на всего лишь один вопрос: Являются ли верхние углы прямыми, тупыми или острыми? Оказывается, когда верхние углы прямые, на плоскости выполняется пятый постулат, когда они острые, плоскость гиперболическая, а когда тупые, плоскость эллиптическая (при условии внесения некоторых дополнительных изменений в постулаты).
Саккери надеялся, что случаи тупых и острых углов приводят к противоречию с аксиомами Евклида. Он показал это в случае тупых углов, и, как ему казалось, в случае острых тоже (что было заведомо неверно).
История Четырёхугольник Саккери был впервые рассмотрен Омаром Хайямом в конце XI века. В отличие от многих до и после него, Хайям не пытался доказать пятый постулат как таковой, он опирался на эквивалентный постулат из «принципов философа» (Аристотель): Две сходящиеся прямые линии пересекаются, и невозможно, чтобы две сходящиеся прямые линии стали расходиться в направлении, в котором они ранее сходилисьBoris A Rosenfeld, Adolf P Youschkevitch (1996), Geometry, p. 467 in Roshdi Rashed, Régis Morelon (1996), Encyclopedia of the history of Arabic science, Routledge, ISBN 0-415-12411-5.. Хайям рассмотрел все три возможности для верхних углов четырёхугольника Саккери и доказал ряд теорем. Он (правильно) опроверг тупые и острые случаи на основании его постулата и вывел отсюда классический постулат Евклида.
600 лет спустя использовал четырёхугольник Саккери в доказательстве того, что если три точки находятся на равном расстоянии от основания и верхней стороны , то и всюду лежат на одинаковом расстоянии.
Сам Саккери в своём длинном доказательстве постулата предположил, что верхние углы острые, после чего, сам того не подозревая, вывел отсюда много теорем геометрии Лобачевского. В конце книги он совершил ошибку и пришёл к мнимому противоречию, откуда заключил, что сумел доказать пятый постулат.
Свойства Пусть — четырёхугольник Саккери с основанием . Следующие свойства верны в любой гиперболической геометрии: Верхние углы ( и ) равны и являются острыми. Верхняя сторона длиннее основания. Отрезок, соединяющий середину основания и середину верхней стороны, перпендикулярен основанию и верхней стороне. Также этот отрезок делит четырёхугольник на два четырёхугольника Ламберта. Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, не перпендикулярен ни одной из сторон.
Формула В гиперболической плоскости постоянной кривизны верхняя сторона в четырехугольнике Саккери может быть выражена через боковую сторону и основание с помощью формулы P. Buser and H. Karcher.
Примеры Гиперболическая плоскость допускает замощения некоторыми четырёхугольниками Саккери: Симметрия *3322Симметрия *∞∞22
См. также Четырёхугольник Ламберта — вариация четырёхугольника Саккери с тремя прямыми углами.
Примечания
Литература
M. J. Greenberg, Euclidean and Non-Euclidean Geometries: Development and History, 4th edition, W. H. Freeman, 2008. George E. Martin, The Foundations of Geometry and the Non-Euclidean Plane, Springer-Verlag, 1975
Категория:Геометрия Лобачевского Категория:Четырёхугольники