Поле Якоби — векторное поле вдоль геодезической в римановом многообразии, описывающие разницу между этой геодезической и «бесконечно близкой» ей геодезической. Можно сказать, что все поля Якоби вдоль геодезической образуют касательное пространство к ней в пространстве всех геодезических.
Названы в честь Карла Густава Якоба Якоби.
Определение Пусть есть гладкое однопараметрическое семейство геодезических с , тогда поле
называется полем Якоби.
Свойства Поле Якоби J удовлетворяет уравнению Якоби:
где есть ковариантная производная по отношению к связности Леви-Чивита, — тензор кривизны, и — касательный вектор к . На полных римановых многообразиях любое поле, удовлетворяющее уравнению Якоби, является полем Якоби, то есть для него существует семейство геодезических , связанное с этим полем в соответствии с определением.
Уравнение Якоби — линейное обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка. В частности, и в какой-либо точке однозначно определяют поле Якоби. Кроме того, набор полей Якоби вдоль геодезической составляет вещественное векторное пространство, размерность которого равна удвоенной размерности многообразия.
Любое поле Якоби можно представить единственным образом в виде суммы , где является линейной комбинацией тривиальных полей Якоби, и ортогонально при всех . При этом поле соответствует тому же семейству геодезических, только с измененной параметризацией.
Для любых двух полей Якоби и величина
не зависит от .
Пример На сфере геодезическими через Северный полюс являются большие окружности. Рассмотрим две такие геодезические и с естественной параметризацией , разделенные углом . Геодезическое расстояние равно
Чтобы получить это выражение, нужно знать геодезические. Наиболее интересный результат таков: для любого . Вместо этого мы можем рассмотреть производные по при :
Мы вновь получаем пересечение геодезических при . Заметим, однако, что для вычисления этой производной не нужно знать ; все, что нужно сделать, это решить уравнение , для некоторых заданных начальных условий.
Поля Якоби дают естественное обобщение этого явления для произвольных римановых многообразий.
Решение уравнения Якоби Пусть ; добавим к этому вектору другие, чтобы получился ортонормированный базис в . Переместим его параллельным переносом, чтобы получить базис в любой точке . Это даёт ортонормированный базис с . Поле Якоби можно записать в координатах, связанных с этим базисом: , откуда:
и уравнение Якоби можно переписать в виде системы
для каждого . Таким образом мы получим линейные обыкновенные дифференциальные уравнения. Поскольку уравнение имеет гладкие коэффициенты, мы имеем, что решения существуют для всех и являются единственными, если заданы и для всех .
Примеры Рассмотрим геодезическую с параллельным ортонормированным репером , , построенным, как описано выше. Векторные поля вдоль , заданные и , являются полями Якоби. В евклидовом пространстве (а также для пространств постоянной нулевой секционной кривизны) поля Якоби это — это те поля, что линейны по . Для римановых многообразий постоянной отрицательной секционной кривизны любое поле Якоби является линейной комбинацией , и , где . Для римановых многообразий постоянной положительной секционной кривизны любое поле Якоби является линейной комбинацией , , и , где . Сужение поля Киллинга на геодезическую является полем Якоби в любом римановом многообразии. Поля Якоби соответствуют геодезическим на касательном расслоении (по отношению к метрике , индуцированной метрикой на ).
См. также Сопряжённые точки Теорема сравнения Рауха Уравнение Риккати
Литература Громол Д., Клингенберг В., Мейер В., Риманова геометрия в целом, Мир, 1971, с. 343.
Категория:Уравнения Категория:Риманова (и псевдориманова) геометрия