Формула Крофтона — классический результат интегральной геометрии. Связывает длину кривой со средним числом пересечений с прямыми.
Названа в честь Моргана Крофтона.
Формулировка Пусть — спрямляемая плоская кривая. Для прямой , обозначим через число точек, в которых и пересекаются. Мы можем параметризовать ориентированные прямые углом к выбранному направлению и расстоянием от начала координат, взятым со знаком. Тогда длина кривой равна
Замечания Дифференциальная форма
инвариантна относительно движений плоскости. Таким образом, она даёт естественную меру для интегрирования.
Формула Крофтона эквивалентна следующему утверждению: Длина кривой прямо пропорциональна средней длине её ортогональных проекций. При этом длина проекции считается с учётом кратности.''
Приложения Формула Крофтона даёт доказательства следующих результатов: Если замкнутая плоская кривая обходит вокруг выпуклой кривой, то эта выпуклая кривая имеет меньшую длину. Теорема Барбье: Кривая постоянной ширины имеет периметр . Изопериметрические неравенства: среди замкнутых кривых с заданным периметром, круг имеет максимальную площадь. Если сферическая кривая имеет длину меньше , то она лежит в открытой полусфере. Это утверждение является ключевым в доказательстве теоремы Фенхеля о повороте кривой.
Вариации и обобщения
Задача Бюффона о бросании иглы
Формула Крофтона обобщается для любой римановой поверхности; при этом для интегрирования используется естественная мера на пространстве геодезических фиксированной длины. Например, длина кривой на единичной сфере равна , где обозначает среднее число пересечений кривой с окружностями большого круга.
Преобразование Радона может рассматриваться как обобщение формулы Крофтона в теории меры. Формула Сантало
Литература
Лекция 19 в
Категория:Дифференциальная геометрия и топология Категория:Теория меры Категория:Теоремы геометрии Категория:Интегральная геометрия