Мера Радона — мера на сигма-алгебре борелевских множеств на хаусдорфовом топологическом пространстве X, которая является локально конечной и внутреннее регулярной.
Определение Пусть μ есть мера на сигма-алгебре борелевских множеств в хаусдорфовом топологическом пространстве X.
Мера μ называется внутренне регулярной, если для любого борелевского множества B, μ(B) совпадает с супремумом μ(K) для компактных подмножеств K в B.
Мера μ называется внешней регулярной, если для любого борелевского множества B, μ(B) является инфимумом μ(U) по всем открытым множествам U, содержащим B.
Мера μ называется локально конечной, если каждая точка в X имеет окрестность U, для которой значение μ(U) конечно. (Если μ локально конечна, то μ конечна на компактных множествах.)
Мера μ называется мерой Радона, если она внутренне регулярна и локально конечна.
Замечание Определение можно обобщить на нехаусдорфовы пространства, заменив слова «компактный» на «замкнутый и компактный» везде, но это обобщение пока не имеет приложений.
Примеры Примеры мер Радона: Мера Лебега на евклидовом пространстве (ограниченная на борелевские подмножества); Мера Хаара на любой локально компактной топологической группе; Мера Дирака на любом топологическом пространстве; Гауссовы меры на евклидовом пространстве с его борелевской сигма-алгеброй; Вероятностные меры на σ-алгебре борелевских множеств любого польского пространства. Этот пример не только обобщает предыдущий пример, но включает в себя многие меры на локально компактных пространствах, например, меру Винера на пространстве вещественных непрерывных функций на отрезке [0,1]. Следующие меры не являются мерами Радона: Считающая мера на евклидовом пространстве не является мерой Радона, поскольку она не является локально конечной. Пространство ординалов до первого несчётного ординала с топологией порядка является компактным топологическим пространством. Мера, которая равна 1 на любом множестве, содержащем несчётное замкнутое множество, и 0 в противном случае, является борелевской, но не является мерой Радона. Пусть X — это множество [0,1), оснащённое топологией стрелки. Мера Лебега на этом топологическом пространстве не является мерой Радона, так как она не внутренне регулярна. Последнее следует из того, что в этой топологии компактные множества не более чем счётны. Стандартная мера произведения на с несчётным — не мера Радона, поскольку любое компактное множество содержится внутри произведения несчётного числа замкнутых интервалов, мера каждого из которых меньше 1.
Свойства Далее X обозначает локально компактное топологическое пространство, μ — меру Радона на . Мера μ задаёт линейный функционал на пространстве всех финитных функций на X, то есть непрерывных функций с компактным носителем:
Более того: Этот функционал полностью определяет саму меру. Этот функционал непрерывен и положителен. Положительность означает, что , если .
Метрика Радона Конусу всех мер Радона на можно придать структуру полного метрического пространства. Расстояние между двумя мерами Радона , определяется следующим образом:
где супремум берётся по всем непрерывным функциям
Эта метрика называется метрикой Радона. Сходимость мер в метрике Радона иногда называют сильной сходимостью.
Пространство Радоновых вероятностных мер на ,
не является секвециально компактным по отношению к этой метрике, то есть не гарантируется, что любая последовательность вероятностных мер будет иметь подпоследовательность, которая сходится.
Сходимость в метрике Радона влечёт слабую сходимость мер:
Обратное неверно в общем случае.
Интегрирование Определение интеграла на более широкий класс функций (с не обязательно с компактным носителем) производится в несколько шагов: Определяется верхний интеграл μ*(g) полунепрерывных снизу положительных (вещественных) функций g как супремум (возможно, бесконечный) положительных чисел μ(h) для финитных непрерывных функций h≤g. Определяется верхний интеграл μ*(f) для произвольной положительной вещественнозначной функции f как инфимум верхних интегралов μ*(g) для полу-непрерывных снизу функций g≥f. Определяется векторное пространство F = F(Х;μ) как пространство всех функций f на X, для которых верхний интеграл μ*(|f|) конечен; верхний интеграл абсолютного значения определяет полунорму на F, и F является полным пространством относительно топологии, определяемой этой полунормой. Определяется пространство L1(X,μ) интегрируемых функций как замыкание в F пространства непрерывных финитных функций. Определяется интеграл для функций из L1(X,μ) через расширение по непрерывности (после проверки того, что μ непрерывна относительно топологии L1(X,μ)). Определяется мера множества как интеграл (когда он существует) функции индикатора множества. Можно убедиться, что эти действия дают теорию, идентичную той, что начинается с меры Радона, определяемой как функция, которая присваивает число каждому борелевскому множеству в X.
Литература .
.
Ссылки
Категория:Теория меры Категория:Функциональный анализ