Апейрогон или бесконечноугольник (от — бесконечный или безграничный и — угол) — обобщённый многоугольник со счётно-бесконечным числом сторонCoxeter, Regular polytopes, p.45.
Правильный апейрогон Правильный апейрогон имеет стороны равной длины, как и любой другой правильный многоугольник. Его символ Шлефли — {∞}, диаграмма Коксетера — Дынкина — .
Правильный апейрогон разбивает плоскость на две полуплоскости, образуя {∞,2}. Внутренняя часть апейрогона может быть определена путём указания направления сторон.
+ Евклидовы мозаикиПравильныеОднородные ∞.∞ 2∞ 4.4.∞ 3.3.3.∞ {∞, 2} {2, ∞} t{2, ∞} sr{2, ∞}
Правильными апейрогонами можно считать прямые, состоящие из рёбер четырёх однородных мозаик и пяти мозаик, двойственных однородным, на евклидовой плоскости.
3 направления 1 направление 2 направления Шеститреугольная мозаика Треугольный паркет Удлинённая треугольная мозаика Квадратный паркет (кадриль) 3 направления6 направлений1 направление4 направленияТетрамозаикаРазделённая треугольная мозаикаРазделённая шестиугольная мозаикаПризматическая пятиугольная мозаикаРазделённая квадратная мозаика
Неправильные апейрогоны Изогональный апейрогон имеет вершины одного типа и чередующиеся стороны двух типов (длин).
Квазиправильный апейрогон — изогональный апейрогон с равными длинами сторон.
Изотоксальный апейрогон является двойственным по отношению к изогональному. Он имеет один тип рёбер и два типа вершин и геометрически идентичен правильному апейрогону, что можно показать чередующейся раскраской вершин в два цвета.
Правильный… … Квазиправильный… … Изогональный… … Изотоксальный… …
Апейрогоны на плоскости Лобачевского
Правильные апейрогоны на плоскости Лобачевского имеют кривизну, также как и многоугольники с конечным числом сторон. Вокруг апейрогона на плоскости Лобачевского можно описать орицикл или эквидистанту (гиперцикл), аналогично тому, как вокруг многоугольника с конечным числом сторон может быть описана окружность.
+ Однородные мозаики из апейрогонов345{∞,3}{∞,4}{∞,5}
+ Однородные мозаики из апейрогонов (продолжение)678…∞{∞,6}{∞,7}{∞,8}{∞,∞}
+ Правильные и однородные мозаики из апейрогонов{∞, 3}tr{∞, 3}tr{12i, 3}Правильный: {∞}Квазиправильный: t{∞}Квазиправильный: t{12i}
Примечания
Литература
Grünbaum, B. Regular polyhedra — old and new, ''Aequationes Math. 16 (1977) p. 1-20 (1st ed, 1957) 5.2 The Petrie polygon {p, q}.
Ссылки
Категория:Многоугольники