Аменабельная группа — локально компактная топологическая группа G, в которой возможно ввести операцию усреднения на ограниченных функциях на этой группе, инвариантную относительно умножения на любой элемент группы.

История Понятие было введено Джоном фон Нейманом в 1929 году под немецким названием «messbar» («измеримый»). Мотивировкой послужил парадокс удвоения шара.

Изначальное определение было дано в терминах конечно-аддитивной инвариантной меры на подмножествах группы G.

В 1949 году Махлон Дэй ввёл в употребление термин аменабельный (от английского «послушный»), которое закрепилось.

Определение для локально компактных групп Рассмотрим локально компактную хаусдорфову группу G с её мерой Хаара . Рассмотрим банахово пространство в L∞(G) ограниченных измеримых функций.

Определение 1. Линейный функционал Λ в Hom(L∞(G), R) называется усреднением, если Λ имеет норму 1 и неотрицателен, то есть f ≥ 0 почти везде влечёт Λ(f) ≥ 0.

Определение 2. Усреднение Λ в Hom(L∞(G), R) называется левоинвариантным (соответственно, правоинвариантным), если Λ(g·f) = Λ(f) для всех g в G, и f в L∞(G) по отношению к левому (соответственно, правому) сдвигу g·f(x) = f(g−1·х)(соответственно, f·g(x) = f(х·g−1)).

Определение 3. Локально компактная хаусдорфова группа называется аменабельной, если она допускает левoинвариантнoe (или правоинвариантное) усреднение.

Эквивалентные условия Наличие фиксированной точки. Любое действие группы аффинными преобразованиями на компактном выпуклом подмножестве сепарабельного локально выпуклого топологического векторного пространства имеет неподвижную точку. Критерий Дэя. Существует последовательность интегрируемых неотрицательных функций φn с интегралом 1 на G такая, что g·φn − φn стремится к 0 в слабой топологии на L1(G). Критерий Рейтера. Для любого конечного (или компактного) подмножества F в G существует интегрируемая неотрицательная функция φ с интегралом 1 такая, что g·φ − φ является сколь угодно малой в L1(G) для любого g из F. Критерий Гликсберга — Райтера. Для любой f в L1(G), расстояние между 0 и замкнутой выпуклой оболочкой в L1(G) левых сдвигов f равно |∫f|. Критерий Фёлнера. Для каждого конечного (или компактного) подмножества F в G существует измеримое подмножество U в G с конечной положительной мерой Хаара такое, что значение сколь угодно близко к 1. Критерий Кестена. Левая свертка на L2(G) с симметричной вероятностной мерой на G дает оператор оператор нормы 1. Гомологический критерий Джонсона. Банахова алгебра А = L1(G) аменабельна как Банахова алгебра.

Случай дискретных групп Определение аменабельности проще в случае дискретной группыСм. Greenleaf 1969, Pier 1984, Takesaki 2002a, Takesaki 2002b., то есть когда группа оснащена дискретной топологией.

Определение. Дискретная группа G аменабельна, если существует левоинвариантная конечно-аддитивная вероятностная мера μ на G.

Это определение эквивалентно определению в терминах L∞(G), данному выше.

Мера μ на G позволяет определить интеграл ограниченных функций на G. Для ограниченной функции f: G → R, интеграл

определяется как в случае интеграла Лебега. (Обратите внимание, что некоторые свойства интеграла Лебега не выполняются, так как наша мера только конечно-аддитивна.)

Если группа допускает левоинвариантную меру, то она также допускает би-инвариантную меру. Действительно, по левоинвариантной мере μ строится правоинвариантная мера μ−(A) = μ(A−1). Эти две меры определяют би-инвариантную меру следующим образом:

Эквивалентные условия для аменабельных групп также становятся проще в случае счетной дискретной группы Γ . Для такой группы следующие условия эквивалентны:Pier 1984 Γ аменабельна. Существует левоинвариантный непрерывный функционал μ на ℓ∞(Γ) с μ(1) = 1. Существует множество вероятностных мер μn на Γ таких, что ||g · μn — μn||1 стремится к 0 для каждого g в Γ. Существуют единичные векторы хn в ℓ2(Γ) такие, что ||g · хn − хn||2 стремится к 0 для каждого g в Γ. Существуют конечные подмножества Sn из Γ такие, что |g · Sn Δ Sn| / |Sn| стремится к 0 для каждого g в Γ. Если μ является симметричной вероятностной мерой на Γ с системой образующих как носителем, то свёртка по μ определяет оператор нормы на 1 в ℓ2(Γ). Если Γ действует изометриями на сепарабельном банаховом пространстве Е, и f в ℓ∞(Γ, Е*) — ограниченный 1-коцикл, то есть f(g·h) = f(g) +g·f(h), тогда f — 1-кограница, то есть f(g) = g·φ − φ для некоторого φ в Е*.

Свойства Замкнутая подгруппа аменабельной группы аменабельна. Факторгруппа аменабельной группы аменабельна. Расширение аменабельной группы аменабельно. В частности, конечное прямое произведение аменабельных групп аменабельно. Тем не менее, бесконечное произведения не обязаны быть аменабельными. Прямые пределы аменабельных групп аменабельны. В частности, если группа может быть записана в виде объединения возрастающей последовательности аменабельных подгрупп, то она аменабельна. Свойство аменабельности локально, то есть группа аменабельна тогда и только тогда, когда все её конечно-порождённые подгруппы аменабельны.

Примеры Компактные группы аменабельны. В частности, конечные группы аменабельны. Все разрешимые группы аменабельны. В частности, все абелевы группы аменабельны. группа целых чисел аменабельна.

Примеры выше называются элементарными аменабельными группами. Они строятся из конечных и абелевых групп с помощью стандартного набора операций. Существование неэлементарных аменабельных групп гарантируется следующим примером. Конечно порожденные группы субэкспоненциального роста аменабельны.

Контрпримеры Счётная дискретная группа, содержащая свободную подгруппу с двумя образующими, неаменабельна. Обратное утверждение является гипотезой фон Неймана, она была опровергнута Ольшанским в 1980 году с помощью его монстров Тарского. Адян впоследствии показал, что свободные бёрнсайдовы группы неаменабельны. Эти группы конечно порождены, но не конечно представлены. В 2002 году Сапир и Ольшанский нашли примеры неаменабельных конечно представленных групп. Для конечно порожденных линейных групп гипотеза фон Неймана верна по теореме ТитсаTits, J. (1972), «Free subgroups in linear groups», J. Algebra 20 (2): 250—270, doi:10.1016/0021-8693(72)90058-0: в каждой подгруппе GL(n, k) над полем k либо есть нормальная разрешимая подгруппа конечного индекса (и, следовательно, группа аменабельна), либо содержится свободная подгруппа с двумя образующими.

Связанные свойства представляет собой, неформально говоря, полную противоположность аменабельности, за исключением случая компактных (в дискретном случае — конечных) групп. Софические группы обобщают одновременно аменабельные и остаточно конечные группы; неформально говоря, софическая группа локально хорошо приближается конечной группой, ср. с критерием Фёлнера.

Примечания

Ссылки

Категория:Геометрическая теория групп Категория:Топологические группы