Теорема Сохоцкого — Племеля (польская орфография Sochocki) — теорема в комплексном анализе, которая помогает в оценке определённых интегралов. Версия для вещественной прямой (см. ниже) часто используется в физике, хотя и редко называется по имени. Теорема названа в честь Юлиана Сохоцкого, который доказал её в 1868 году, и Йосипа Племеля, который заново открыл её в качестве основного ингредиента своего решения задачи Римана — Гильберта в 1908 году.

Формулировка теоремы Пусть C гладкая замкнутая простая кривая на плоскости, и φ — аналитическая функция на C. Тогда интеграл типа Коши

определяет две аналитические функции от z, φi внутри C и φe снаружи. Формулы Сохоцкого — Племеля соотносят граничные значения этих двух аналитических функций в точке z на C и главное значение по Коши интеграла:

Последующие обобщения устраняют требования гладкости на кривой C и функции φ.

Версия для вещественной прямой Особенно важна версия этой теоремы для интегралов на вещественной прямой.

Пусть ƒ — комплекснозначная функция, которая определена и непрерывна на вещественной оси, и пусть a и b — вещественные числа такие, что a < 0 < b. Тогда

где обозначает главное значение Коши.

Доказательство для вещественной прямой Простое доказательство состоит в следующем.

Для первого слагаемого, отметим, что  — это зарождающаяся дельта-функция, и поэтому приближается к дельта-функции Дирака в пределе. Следовательно, первое слагаемое равно .

Для второго слагаемого, мы отмечаем, что фактор стремится к 1 для |х| ≫ ε, и стремится к 0 при |х| ≪ ε, а именно симметричная функция относительно 0. Поэтому, в пределе, получается интеграл в смысле главного значения по Коши.

Приложения к физике В квантовой механике и квантовой теории поля, часто приходится оценивать интегралы вида

где Е — это некоторая энергия и t — время. В данной форме выражение не определено (поскольку интеграл по времени не сходится), поэтому его обычно изменяют путём добавления отрицательного вещественного коэффициента к t в экспоненте, а затем устремляют этот коэффициент к нулю:

где теорема Сохоцкого используется на последнем шаге.

См. также

Соотношения Крамерса — Кронига Преобразования Гильберта

Литература Chapter 3.1. Appendix A, equation (A.19).

Blanchard, Bruening: Mathematical Methods in Physics (Birkhauser 2003), Example 3.3.1 4

Категория:Теоремы комплексного анализа