Когомологии Александрова — Чеха — теория когомологий, основанная на свойствах открытых покрытий топологического пространства. Такие когомологии оказываются удобными при изучении патологических пространств.
Идея построения заключается в том, что если покрытие пространства составлено из достаточно маленьких множеств, то когомологии нерва покрытия являются хорошей аппроксимацией когомологий самого пространства.
Названы в честь Александровa и Чеха. Обычно обозначаются .
Построение Пусть — топологическое пространство, — открытое покрытие . Обозначим через нерв покрытия .
Предположим, покрытие вписано в покрытие , то есть любое множество из содержится в некотором множестве из . Выберем отображение, сопоставляющее каждому множеству из содержащее его множество из . Это отображение индуцирует отображение нервов . Индуцированный гомоморфизм колец когомологий не зависит от выбора . (Поскольку мы работаем с симплициальными комплексами, неважно, какую из теорий когомологий мы выбираем.)
Кольца когомологий с гомоморфизмами образуют обратную систему. Это даёт возможность перейти к обратному пределу
Полученное кольцо называется когомологиями Чеха пространства с коэффициентами в .
Связь с другими теориями когомологий
Для патологических пространств когомологии Чеха могут отличаться от сингулярных когомологий. Например, если X — польская окружность, то , тогда как Если X гомотопически эквивалентен СW-комплексу, то когомологии Чеха естественно изоморфны сингулярным когомологиям . Если X является гладким многообразием, то когомологии Чеха естественно изоморфны когомологиям де Рама.
Ссылки
Александров П. С., «Аnn. of Math.», 1928, v. 30, p. 101-87; Сесh Е., «Fundam. math.», 1932, t. 19, p. 149-83;
Chapter 2 Appendix A
Категория:Топология