Ньютон сделал по крайней мере три попытки исследовать кубики и получил две классификации кубик. Первая попытка была сделана в самом конце 1667 либо в начале 1668 года. Она завершилась написанием работы.
Первая классификация кубик была опубликована Ньютоном в 1704 году в работеРусский перевод «Перечисление кривых третьего порядка» в книге Исаак Ньютон, «Математические работы» (пер. с латинского Д. Д. Мордухай-Болтовского), 1937, с. 194—209, доступно постранично on-line на . Он описал 72 кубики. Позже Дж. СтирлингStirling J., Lineæ tetrii ordinis Newtonianae, 1717. добавил 4 кубики, затем Ф. НикольNicole F., Me ́moires de l'Acade ́mie Royale des Sciences. Anne ́e, MDCCXXXI, for 1731, Paris, 1733. добавил ещё 2 кубики. Рисунки добавленных кубик можно найти в статьеKorchagin A. B., Weinberg D. A. Quadric, cubic and quartic cones, Rocky Mountain J. Math., vol. 35 (2005), № 5, p. 1627—1656.. Эта классификация Ньютона получила широкую известность. Подробное обсуждение классификации можно найти в обзорной статьеBall, W. W. Rouse, On Newton's classification of cubic curves, Proc. London Math. Soc., vol. 50 (1891), p. 104—143..
В работе Ньютон указал, что для любой кубики можно так подобрать систему координат, что она будет иметь одно из следующих четырёх уравнений:
Ньютон исследовал эти уравнения, изучая условия, накладываемые на их коэффициенты. В результате кубики были подразделены на 14 родов и на 78 типов. Он различал кубики с разным расположением компонент кривой относительно её асимптот (если кривая их имеет). Ньютон не определил классы эквивалентности кубик, и в этом смысле его классификация не является строгой. Если продолжить идею Ньютона и классифицировать кубики вместе с её асимптотами, определив класс эквивалентности по правилу: две кубики эквивалентны, если их объединения с их асимптотами изотопны, и при изотопии сохраняется расположение точек перегиба кубики, то получится полная классификация, содержащая 99 типов (недостающие 21 типов описаны в приложении обзорной статьи).
Вторая классификация была получена Ньютоном в его неопубликованной рукописи. Эта классификация является классификацией сечений кубических конусов. Она содержит 59 сечений.
Ньютон начинает с пяти стандартных кубик: кубика с точкой возврата — ; кубика с петлёй — ; кубика с изолированной точкой — ; простая кубика — ; кубика с овалом — . Для каждой из этих пяти кубик он описывает её взаимные расположения с прямыми линиями, которые он называет горизонталями, см. рис. A.
Затем Ньютон рассматривает пять кубических конусов, направляющими которых являются эти стандартные кубики, см. рис. B.
Далее для каждой выбранной горизонтали он рассматривает вспомогательную плоскость, проходящую через эту горизонталь и вершину конуса. Наконец, он проводит произвольную плоскость, параллельную вспомогательной плоскости, которая пересекает конус вдоль искомого сечения. При проектировании этого сечения из вершины конуса горизонталь отображается на бесконечно удалённую прямую плоскости сечения. Это означает, что выбор горизонтали эквивалентен выбору бесконечно удалённой прямой. На рис. A сохранена ньютонова нумерация горизонталей. Заметим, что, во-первых, на всех рисунках A.1 — A.5 горизонталь с номером 1 является бесконечно удалённой прямой для нарисованной аффинной плоскости, во-вторых, на рис. A.3, A.4 и A.5 горизонтали с номерами соответственно 7, 5 и 9 пересекают кубику в трёх точках перегиба (одна из них — бесконечно удалённая).
В результате этих построений Ньютон получает: 9 сечений из кубики с точкой возврата; 14 сечений из кубики с петлёй, 12 сечений из кубики с изолированной точкой, 9 сечений из простой кубики, 15 сечений из кубики с овалом. Всего 59 сечений.
Из текста рукописи Ньютона следует, что описанные им классы эквивалентности подчиняются следующему современному определению.
Пусть — аффинная карта проективной плоскости, для которой прямая выбрана в качестве бесконечно удалённой прямой, пусть — аффинные кубики. Говорят, что кубики реализуют одно и тот же кубическое сечение, если существует изотопия троек , такая что для любого образ сокращения является объединением нераспадающейся кубики и прямой; если является либо регулярной точкой кубики , либо её точкой перегиба, либо её особой точкой, то каждая точка пути является соответственно такой же точкой кубики .
В рукописи Ньютон описал эти классы словесно. Рисунки кубических сечений были, по-видимому, впервые опубликованы в обзорной статье. Они приведены здесь в новой редакции.
Используя ньютонову классификацию кубических сечений, А. Б. КорчагинКорчагин А. Б., Ньютонова и аффинная классификации нераспадающихся кубик, Алгебра и анализ, Т. 24 (2012), № 5, с. 94–123. Engl. transl.: Korchagin A. B., Newtonian and affine classifications of irreducible cubics, St. Petersburg Math. J., Vol. 24, 2013, pp. 759—781. получил аффинную классификацию кубик.
См. также Кубика Изометрическая эквивалентность Аффинная эквивалентность Аффинная классификация кубик
Литература
Категория:Алгебраические кривые