Зада́ча Кобо́на о треуго́льниках — нерешённая задача комбинаторной геометрии, сформулированная , известным также как Кобон. В задаче спрашивается, каково максимальное число N(k) неперекрывающихся треугольников, стороны которых принадлежат конфигурации k прямых. Вариант задачи рассматривается в проективной плоскости, а не в евклидовой плоскости, и в этом случае требуется, чтобы треугольники не пересекались другими прямыми конфигурации.
Верхние границы Сабуро Тамура доказал, что наибольшее целое, не превосходящее k(k − 2)/3, даёт верхнюю границу максимального числа неперекрывающихся треугольников, получаемых из k прямых. В 2007 году Иоганес Бадер и Жиль Клеман (, ) нашли более сильную границу, доказав, что верхняя граница Тамуры не может быть достигнута для любого k, сравнимого с 0 или 2 по модулю 6. Поэтому максимальное число треугольников на единицу меньше границы Тамура для этих случаев. Совершенные решения (решение задачи Кобона, дающие максимальное число треугольников) известны для k = 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 13, 15 и 17Ed Pegg Jr. on Math Games .. Для k = 10, 11 и 12 наилучшие известные решения на единицу меньше верхней границы.
Если дано совершенное решение с k0 прямыми, и параметры прямых удовлетворяют определенным ограничениям, другие решения задачи Кобона о треугольниках могут быть найдены для всех значений ki, где
при помощи процедуры Д. Форжа и Дж. Л. Рамиреза АльфонсинаMatlab code illustrating the procedure of D. Forge and J. L. Ramirez Alfonsin . Retrieved on 9 May 2012.. Например, решение для k0 = 3 приводит к максимальному числу неперекрывающихся треугольников для k = 3, 5, 9, 17, 33, 65, …
k 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 OEIS Верхняя граница Тамуры для N(k) 1 2 5 8 11 16 21 26 33 40 47 56 65 74 85 96 107 120133 . Верхняя граница Клемана и Бадера 1 2 5 7 11 15 21 26 33 39 47 55 65 74 85 95 107 119133 — Лучшие известные решения 1 2 5 7 11 15 21 25 32 38 47 54 65 72 85 93 107 117 133 .
Примеры
См. также Теорема Робертса о треугольниках
Примечания
Литература — P. 155—161. — .
Ссылки Johannes Bader, "Kobon Triangles" Галерея известных решений "Kobon & Arnold Solution gallery"
Категория:Математические головоломки и досуг Категория:Открытые математические проблемы Категория:Комбинаторная геометрия Категория:Треугольники