Лемма о руке — лемма в доказательстве теоремы Коши о многогранниках.
Неформально утверждение можно описать следующим образом: Представьте себе руку робота, состоящую из нескольких звеньев, соединённых суставами. Каждое звено — это отрезок, а вся рука — ломаная. Пусть вся рука робота может двигаться в одной плоскости. Предположим, в изначальном состоянии рука робота образует выпуклую ломаную, то есть такую ломаную, что если мы соединим концы ломаной, то получим выпуклый многоугольник. Допустим теперь, что робот увеличивает угол в каждом суставе. Лемма утверждает, что тогда увеличится и расстояние между началом и концом руки.
Несмотря на простоту формулировки, доказательство леммы не просто. В частности, именно в этом месте оригинальное доказательство Коши имеет ошибку. Эта ошибка оставалась незамеченной более ста лет. Она была замечена Эрнстом Штейницем, видимо, между 1920 и 1928 годами и исправлена только в 1934Steinitz E., Rademacher H. Vorlesungen ̈uber die Theorie der Polyeder. Berlin: Springer-Verl., 1934..
Формулировка Предположим, выпуклый многоугольник на евкидовой плоскости и ломаная в плоскости или пространстве такая, что при , при . Тогда
Более того, в случае равенства ломаные и конгруэнтны.
Вариации и обобщения Аналогичный результат верен на сфере и плоскости Лобачевского. Более того, лемма естественно обобщается на CAT(κ) пространства.см. 9.63 в .
Теорема Залгаллера. Если у двух сферических -гольников и соответственные стороны равны и многоугольник лежит в полусфере, то хотя бы один из углов не меньше соответственного угла .
Лемма о согнутом луке — версия леммы о руке для гладких кривых: Пусть и — пара гладких кривых пареметризованных длиной определённых на одном и том же интервале . Предположим, что для любого выполняется неравенство , где и обозначает кривизну и соответственно при . Далее предположим, что есть дуга плоской выпуклой кривой, то есть она проходит вдоль границы некоторой выпуклой плоской фигуры. Тогда расстояние между концами не превосходит расстояния между концаму ; то есть,
Лемма верна если есть кривая в евклидовом пространстве произвольной размерности. Иногда называется леммой Шура в честь Акселя Шура, доказавшего её частный случай.Schur, Axel; Über die Schwarzsche Extremaleigenschaft des Kreises unter den Kurven konstanter Krümmung. Math. Ann. 83 (1921), no. 1-2, 143–148. В полной общности лемма была доказана Эрхардом Шмидтом.E. Schmidt. «Über das Extremum der Bogenlänge einer Raumkurve bei vorgeschriebenen Einschränkungen ihrer Krümmung». Sitzungsber. Preuß. Akad. Wiss., Phys.-Math. Kl. (1925), 485—490.
См. также Лемма Александрова Теорема Решетняка о мажоризации
Примечания
Литература И. Х. Сабитов, Вокруг доказательства леммы Лежандра — Коши о выпуклых многоугольниках Сиб. матем. журн., 2004, том 45, № 4, с. 892—919 Лекция 24 в
Категория:Комбинаторная геометрия Категория:Теоремы о многогранниках