Теорема о разрезании квадрата на равновеликие треугольники гласит, что квадрат невозможно разрезать на нечётное число треугольников одинаковой площади.
Теорема знаменита своим неожиданным доказательством, использующим 2-адическую норму.
История
Задача была поставлена Фредом Ричманом в «American Mathematical Monthly» в 1965 году и решена Паулем Монски в 1970 году ..
О доказательстве Используя 2-адические числа, строится определённая раскраска точек единичного квадрата в три цвета.
Главные свойства раскраски состоят в следующем: Площадь любого треугольника с вершинами разных цветов не может быть выражена дробью с нечётными числителем и знаменателем. В частности, если бы существовало разбиение квадрата на нечётное число равновеликих треугольников, то ни один из треугольников не имел бы вершин всех трёх цветов. Любая прямая окрашена ровно в два цвета.
Это и некоторые другие свойства данной раскраски приводят к противоречию с леммой Шпернера.
Вариации и обобщения -мерный куб может быть разбит на симплексы одинакового объема, только если количество симплексов кратно Sperner’s Lemma , Moor Xu. Из доказательства теоремы также следует существование четырёхугольников, не допускающих разрезания на равновеликие треугольники. Для целого числа , правильный -угольник допускает разрезание на равновеликих треугольников тогда и только тогда, когда делится на E. A. Kasimatis, Dissections of regular polygons into triangles of equal areas, Discrete & Computational Geometry, August 1989, Volume 4, Issue 4, pp 375—381. Никакой зоногон не может быть разрезан на нечётное количество равных по площади треугольников. Этот факт был доказан тем же Паулем Монски после основной теоремы.
Примечания
Литература
Категория:Комбинаторная геометрия