Псевдоголоморфная кривая (или J-голоморфная кривая) — гладкое отображение из Римановой поверхности в почти комплексное многообразие, удовлетворяющее уравнениям Коши — Римана.
История
Псевдоголоморфные кривые были введены в 1985 году Михаилом Громовым, с тех пор они произвели революцию в изучении симплектических многообразий. В частности, теорема о симплектическом верблюде была доказана с использованием псевдоголоморфных кривых.
Они также используются в определении инвариантов Громова — Виттена, и играют важную роль в теории струн.
Определение Пусть почти комплексное многообразие с почти комплексной структурой . Пусть гладкая риманова поверхность (также называется комплексной кривой) с комплексной структурой . Псевдоголоморфная кривая в представляет собой отображение , которое удовлетворяет условию
То есть дифференциал комплексно-линейный.
Замечания В частности, отображает касательные пространства
на себя. Несмотря на то, что псевдоголоморфные кривые определяются для произвольного почти комплексного многообразия, основные приложения псевдоголоморфных кривых приходятся на симплектические многообразия с совместимой почти комплексной структурой То есть такой, что следующее неравенство выполняется для всех ненулевых касательных векторов
где обозначает симплектическую форму. В частности
определяет Риманову метрику. Для данного , пространство всех совместимых почти комплексных структур непусто и стягиваемо.
Свойства
Если псевдокомплексная структура для симплектической формы с ассоциированной римановой метрикой то любая -голоморфная кривая является минимальной поверхностью. Более того, любая -голоморфная кривая минимизирует площадь в своём гомологическом классе и является её калибровочной формой.
Список литературы
Dusa McDuff and Dietmar Salamon, J-Holomorphic Curves and Symplectic Topology, American Mathematical Society colloquium publications, 2004. ISBN 0-8218-3485-1.
Категория:Симплектическая геометрия Категория:Симплектическая топология