Метрическое дерево (или -дерево) — определённый тип метрических пространств. Являются простейшими примерами гиперболических пространств в смысле Громова; их можно определить как 0-гиперболические пространства в смысле Громова, то есть все их треугольники являются ноль-тонкими.
Они возникают естественным образом в геометрической теории групп и теории вероятностей.
Определение
Геодезическое пространство является метрическим деревом, если это пространство, где каждый треугольник является треногой; иначе говоря, если для каждого треугольника найдется точка , лежащая на всех трёх геодезических .
Свойства
Геодезическое пространство является метрическим деревом тогда и только тогда, когда для любых четырёх точек выполняется следующее неравенство:
где обозначает расстояние между точками и в метрическом пространстве . Если — последовательность -гиперболических пространств, и при , то ультрапредел является метрическим деревом. В частности, конус на бесконечности -гиперболического пространства является метрическим деревом.
Примеры Если — это граф с комбинаторной метрикой, тогда это метрическое дерево, тогда и только тогда, когда граф — дерево (то есть не имеет циклов). Вещественная прямая, к каждой точке которой приклеено по вещественной прямой.
Категория:Метрическая геометрия Категория:Геометрическая теория групп