Геометри́ческая прогре́ссия (иногда также кра́тная прогрессия) — последовательность чисел , , , (члены прогрессии), в которой первый член отличен от нуля, а каждый из последующих членов, начиная со второго, получается из предыдущего умножением на ненулевое число (знаменатель прогрессии, или коэффициент). Выражаясь математически: Геометрическая прогрессия на mathematics.ru.
Описание Любой член геометрической прогрессии может быть вычислен по формуле
Если каждый член геометрической прогрессии больше предыдущего, то прогрессия называется возрастающей; если меньше предыдущего, то убывающей.
Геометрическая прогрессия возрастает, если выполняется один из наборов условий: и или и .
Геометрическая прогрессия убывает, если выполняется один из наборов условий: и или и .
Геометрическая прогрессия называется бесконечно убывающей, если знаменатель прогрессии по абсолютной величине меньше единицы.
При — знакочередующейся, при — стационарной (постоянной).
Своё название прогрессия получила по своему характеристическому свойству:
то есть модуль любого члена геометрической прогрессии, кроме первого, равен среднему геометрическому (среднему пропорциональному) двух рядом с ним стоящих членовЕсли геометрическая прогрессия является конечной последовательностью, то её последний член таким свойством не обладает..
Однако это не только свойство, но и признак геометрической прогрессии, формулировка которого звучит следующим образом: Данный признак можно расширить на другие случаи. Если её члены отрицательны, получим , где .
Если знаки членов прогрессии чередуются, получим , где либо и .
Графическая интерпретация Если на координатной плоскости нанести точки с координатами , где — номер (натуральное число), а — -й член некоторой геометрической прогрессии, у которой , то все точки будут принадлежать графику функции:
Это означает, что справедлива теорема:
Примеры
Последовательность площадей квадратов, где каждый следующий квадрат получается соединением середин сторон предыдущего — бесконечная геометрическая прогрессия со знаменателем 1/2. Площади получающихся на каждом шаге треугольников также образуют бесконечную геометрическую прогрессию со знаменателем 1/2, сумма которой равна площади начального квадрата. Геометрической является последовательность количества зёрен на клетках в задаче о зёрнах на шахматной доске. — геометрическая прогрессия со знаменателем 2 из тринадцати членов. 50; 25; 12,5; 6,25; 3,125; … — бесконечно убывающая геометрическая прогрессия со знаменателем 1/2. 4; 6; 9 — геометрическая прогрессия из трёх элементов со знаменателем 3/2. , , , — стационарная геометрическая прогрессия со знаменателем 1 (и стационарная арифметическая прогрессия с разностью 0). 3; −6; 12; −24; 48; … — знакочередующаяся геометрическая прогрессия со знаменателем −2. 1; −1; 1; −1; 1; … — знакочередующаяся геометрическая прогрессия со знаменателем −1.
Свойства
Свойства знаменателя геометрической прогрессии Знаменатель геометрической прогрессии можно найти по формулам:
Свойства членов геометрической прогрессии Рекуррентное соотношение для геометрической прогрессии:
Формула общего (-го) члена:
Обобщённая формула общего члена:
, если .
Логарифмы членов геометрической прогрессии (если определены) образуют арифметическую прогрессию.
, если .
Произведение первых членов геометрической прогрессии можно рассчитать по формуле
Произведение членов геометрической прогрессии начиная с k-го члена, и заканчивая n-м членом, можно рассчитать по формуле
Сумма первых членов геометрической прогрессии
Суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии называется число, к которому сумма первых членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии стремится и неограниченно приближается с ростом . Сумма всех членов убывающей прогрессии: , то при , и при .
Свойства суммы геометрической прогрессии
где — сумма обратных величин, то есть .
Свойства произведения геометрической прогрессии Произведением первых членов геометрической прогрессии называется произведение от до , то есть выражение вида Обозначение: .
См. также Арифметическая прогрессия Арифметико-геометрическая прогрессия Числа Фибоначчи Показательная функция Сумма ряда
Примечания
Категория:Арифметика Категория:Ряды и последовательности Категория:Геометрическая прогрессия