Теорема Уитни о вложении — утверждение дифференциальной топологии, согласно которому произвольное гладкое -мерное многообразие со счётной базой допускает гладкое вложение в -мерное евклидово пространство. Установлено Хасслером Уитни в 1938 году.
Этот результат оптимален, например, если — степень двойки, то -мерное проективное пространство невозможно вложить в -мерное евклидово пространство.
Схема доказательства Случаи и устанавливаются напрямую.
Для доказательства случая используется факт, что гладкое отображение общего положения является погружением с конечным количеством точек трансверсального самопересечения.
Избавиться от этих точек самопересечения можно, несколько раз применив трюк Уитни. Он состоит в следующем. Возьмем точки самопересечения отображения , имеющие разные знаки. Возьмем точки , для которых и . Соединим и гладкой кривой . Соединим и гладкой кривой . Тогда есть замкнутая кривая в . Далее построим отображение с границей . В общем положении, является вложением и (как раз здесь используется то, что ). Тогда можно изотопировать в маленькой окрестности диска так, чтобы эта пара точек самопересечения исчезла. В последнее утверждение легко поверить, представив картинку для (в которой свойства диска оказались выполнены случайно, а не по общему положению). Аккуратное доказательство приведено в пункте 22.1 книги ПрасоловаВ. В. Прасолов, Элементы теории гомологий .
Приведем набросок другого способа избавиться от точек самопересечения отображения общего положения . Он основан на важной идее поглощения. (Иногда данное применение этой другой идеи ошибочно называют трюком Уитни.) Возьмем точку самопересечения отображения . Возьмем точки , для которых . Соединим и гладкой кривой . Тогда есть замкнутая кривая в . Далее построим отображение с границей . В общем положении, является вложением и (как раз здесь используется то, что ). Теперь можно изотопировать в маленькой окрестности диска так, чтобы эта точка самопересечения исчезла. См. детали и обобщения в книге Рурке и Сандерсона C.P. Rourke, B.J. Sanderson, Introduction into piecewise-linear topology, Springer, 1972. и параграфе 8 обзора Скопенкова. Это рассуждение обычно проводят в кусочно-линейной категории. В гладкой же категории (как здесь) для последней деформации нужно использовать теорему Хефлигера о незаузленности сфер (см. ).
Вариации и обобщения Пусть есть гладкое -мерное многообразие, . Если не является степенью двойки, тогда существует вложение в может быть погружено в Более того может быть погружено в , где есть число единиц в двоичном представлении . Последний результат оптимален, для любого можно построить -мерное многообразие (произведение вещественных проективных пространств), которое невозможно погрузить в . даёт эквивариантный вариант теоремы Уитни о вложении.
Примечания
Литература Оревков С. Ю. Физическое доказательство теоремы Уитни о плоских кривых// Сборник «Математическое Просвещение». Третья серия. 1997. Выпуск 1 . С. 96-102
Категория:Дифференциальная геометрия и топология Уитни о вложении