Асимптотическая формула Вейля связывает объём риманова многообразия с асимптотическим поведением собственных значений его лапласиана.
История Соотношение было получено Германом Вейлем в 1911 году. Изначально оно формулировалось только для областей евклидова пространства. В 1912 году он представил новое доказательство на основе вариационных методов.
Формулировка Пусть — -мерное риманово многообразие. Обозначим через число собственных значений (с учётом кратности), не превосходящих , для задачи Дирихле на . Тогда , где обозначает объем единичного шара в -мерном евклидовом пространстве.
Уточнения Оценка на остаточный член была многократно улучшена. В 1922 г. Рихард Курант улучшил её до . В 1952 году Борис Левитан доказал более жесткое ограничение для замкнутых многообразий. обобщил эту оценку, в частности, включил определенные евклидовы области, в 1978 году.
Предположительно, следующий член в асимптотике при пропорционален площади границы . С учётом этого члена, оценка на остаточный член должна быть . В частности, при условии отсутствия границы оценка на остаточный член в формуле выше должна быть . В 1975 году и доказали оценку при некоторых дополнительных условиях общего положения. Последнее было обобщенно Виктором Иврием в 1980 году. Это обобщение предполагает, что множество периодических траекторий бильярда в имеет меру 0. Последнее, возможно, выполняется для всех ограниченных евклидовых областей с гладкими границами.
Примечания
Категория:Дифференциальные уравнения в частных производных Категория:Риманова (и псевдориманова) геометрия