Важной составной частью геометрии треугольника является теория фигур и кривых, вписанных в треугольник или описанных около него — окружностей, эллипсов и других.

Вписанные и описанные окружности треугольника

Окружности, проходящие через вершины треугольника Описанная окружность (см. рисунок слева) — окружность, проходящая через все три вершины треугольника. Описанная окружность всегда единственна, если треугольник не вырожден особым образом, то есть две из трех его вершин не совпадают.

Окружность Джонсона — любая из трех окружностей (см. рис. справа), проходящая через две вершины треугольника и через его ортоцентр. Радиусы всех трех окружностей Джонсона равны. Окружности Джонсона являются описанными окружностями треугольников Гамильтона, имеющих в качестве двух вершин две вершины данного остроугольного треугольника, а в качестве третьей вершины имеющих его ортоцентр.

Окружности, касающиеся сторон треугольника или их продолжений Вписанная окружность (см. рисунок слева) — окружность, касающаяся всех трёх сторон треугольника. Она единственна. Центр вписанной окружности называется инцентром. Отрезки, соединяющие точки касания вписанной окружности с вершинами, пересекаются в одной точке, называемой точкой Жергонна. Точка Жергонна изотомически сопряжена точке Нагеля (см. ниже). Вневписанная окружность(см. рисунок слева) — окружность, касающаяся одной стороны треугольника и продолжения двух других сторон. Таких окружностей в треугольнике три. Их радикальный центр — центр вписанной окружности срединного треугольника, называемый центром Шпикера или точкой Шпикера. Отрезки, соединяющие вершины с точками касания вневписанных окружностей с вершинами, пересекаются в одной точке, называемой точкой Нагеля.

Три окружности Мальфатти треугольника (см. рис. справа). Каждая из них касается двух сторон треугольника и двух других окружностей Мальфатти. Если провести три прямые, соединяющие центр каждой окружности Мальфатти с точкой касания между собой двух других, то они пересекутся в одной точке — в точке Аджима-Мальфатти (Ajima-Malfatti).

Три полувписанные окружности или окружности Веррьера (см. рис. слева). Каждая из них касается двух сторон треугольника и описанной окружности внутренним образом. Отрезки, соединяющие вершины треугольника и соответствующие точки касания окружностей Веррьера с описанной окружностью, пересекаются в одной точке, называемой точкой Веррьера. Она служит центром гомотетии G , которая переводит описанную окружность во вписанную (См. серый рис. снизу).

Лемма Веррьера. Точки касания окружностей Веррьера (полувписанных окружностей) со сторонами лежат на прямой, которая проходит через центр вписанной окружности (инцентр) (См. серый рис. снизу).

Радиусы вписанной и описанной окружностей

Следующие формулы включают радиусы описанной R и вписанной r окружностей: ,

где  — полупериметр треугольника, ha и т. д. высоты, проведенные к соответствующим сторонам;Altshiller-Court, Nathan, College Geometry, Dover, 2007. Longuet-Higgins, Michael S., «On the ratio of the inradius to the circumradius of a triangle», Mathematical Gazette 87, March 2003, 119—120.

и .

Произведение двух сторон треугольника равно произведению высоты к третьей стороне, умноженной на диаметр описанной окружности.: . Если медиана m, высота h и внутренняя биссектриса t выходят из одной и той же вершины треугольника, около которого описана окружность радиуса R, тогда

Окружности, взаимно касающиеся друг друга внутри треугольника Три окружности Мальфатти попарно касаются друг друга внутри треугольника. (см. выше) Окружность девяти точек или окружность Эйлера касается вписанной окружности внутри треугольника в точке Фейербаха.

Окружности, взаимно касающиеся друг друга вне треугольника

Три окружности Веррьера касаются описанной окружности вне треугольника. Окружность девяти точек или окружность Эйлера касается трех вневписанных окружностей вне треугольника внешним образом (Теорема Фейербаха, см. рисунок). Окружность Аполлония касается трех вневписанных окружностей вне треугольника внутренним образом (см. рисунок) Три окружности Джонсона (см. выше) касаются внешним образом антикомплементарной окружности (красная на рисунке справа выше, радиус 2r) треугольника ΔABC. Центры окружностей Джонсона лежат на отрезках (оранжевые), соединяющих общую точку пересечения высот H и точки касания этих трех окружностей с антикомплементарной окружностью.. Эти точки касания образуют антидополнительный или (что то же самое) антикомплементарный треугольник (зелёный на рисунке выше).

Другие окружности

Центры описанных окружностей шести треугольников, на которые треугольник разбивается медианами, лежат на одной окружности, которая называется окружностью Ламуна.

Если от каждой вершины отложить наружу треугольника на прямых, содержащих стороны, отрезки, равные по длине противоположным сторонам, то получившиеся шесть точек лежат на одной окружности — окружности Конвея.

Окружности, пересекающие стороны треугольника Окружность девяти точек — это окружность, проходящая через середины всех трёх сторон треугольника и через три основания его высот. Окружность Тейлора — это окружность, которая проходит через шесть точек в виде шести проекций трёх оснований высот треугольника, пересекающих каждую сторону, на две оставшиеся стороны.

Определение перспектора коники

В треугольник можно вписать бесконечно много коник (эллипсов, парабол или гипербол). Если в треугольник вписать произвольную конику и соединить точки касания с противоположными вершинами, то получившиеся прямые пересекутся в одной точке, называемой перспектором коники. Для любой точки плоскости, не лежащей на стороне или на её продолжении существует вписанная коника с перспектором в этой точке.

Эллипсы треугольника

Определение вписанного эллипса Штейнера

В треугольник можно вписать бесконечно много эллипсов. При этом фокусы каждого из вписанных эллипсов изогонально сопряжены. В треугольник можно вписать единственный эллипс, который касается сторон в их серединах. Такой эллипс называется вписанным эллипсом Штейнера (его перспектором будет центроид треугольника). «Определение перспектора коники» (включая конику-эллипс) см. выше.

Определение описанного эллипса Штейнера

Около треугольника можно описать бесконечно много эллипсов. Oколо треугольника можно описать единственный эллипс, который касается прямых, проходящих через вершины и параллельных сторонам. Такой эллипс называется описанным эллипсом Штейнера. Фокусы описанного эллипса Штейнера называют точками Скутина. Чевианы, проведённые через фокусы описанного эллипса Штейнера (точки Скутина), равны (теорема Скутина)

Аффинное преобразование эллипса Штейнера Если аффинным преобразованием («перекосом») перевести произвольный разносторонний треугольник в правильный треугольник, то его вписанный и описанный эллипсы Штейнера перейдут во вписанную и описанную окружности.

Эллипс Брокара

Эллипс с фокусами в точках Брокара называется эллипсом Брокара. Его перспектором служит точка Лемуана.

Эллипс Мандарта (Mandart inellipse)

Эллипс Мандарта (или Мандара) треугольника ABC — вписанный в треугольник эллипс, касающийся его сторон в точках касания их с вневписанными окружностями (в вершинах треугольника Нагеля)(см. рис. справа). Описанная вокруг треугольника Нагеля TATBTC окружность называется окружностью Мандарта (частный случай эллипса Мандарта). Эллипс Джонсона

Шесть точек — вершины опорного треугольника и вершины его треугольника Джонсона — лежат на эллипсе Джонсона (рис. слева), имеющем центр в центре девяти точек и точка X(216) опорного треугольника является его точкой перспективы. Описанный эллипс и описанная окружность имеют четыре общие точки — три вершины опорного треугольника и точку X(110).

Соотношение для произвольного эллипса, вписанного в треугольник Если произвольный эллипс, вписан в треугольник ABC и имеет фокусы P и Q, тогда для него справедливо соотношениеAllaire, Patricia R.; Zhou, Junmin; and Yao, Haishen, «Proving a nineteenth century ellipse identity», Mathematical Gazette 96, March 2012, 161—165.

Параболы, вписанные в треугольник В треугольник можно вписать бесконечно много парабол.

Перспекторы вписанных в треугольник парабол лежат на описанном эллипсе Штейнера(см. выше). Фокус вписанной параболы лежит на описанной окружности, а директриса проходит через ортоцентр.

Парабола Киперта

Парабола, вписанная в треугольник, имеющая директрисой прямую Эйлера, называется параболой Киперта. Её перспектор — четвёртая точка пересечения описанной окружности и описанного эллипса Штейнера, называемая точкой Штейнера.

Гиперболы, описанные около треугольника Около треугольника можно описать бесконечно много гипербол. Если описанная около треугольника гипербола проходит через точку пересечения высот, то она равносторонняя (то есть её асимптоты перпендикулярны). Точка пересечения асимптот равносторонней гиперболы лежит на окружности девяти точек.

Гипербола Киперта

Гипербола Киперта — описанная гипербола, проходящая через центроид и ортоцентр. Если на сторонах треугольника построить подобные равнобедренные треугольники (наружу или внутрь), а затем соединить их вершины с противоположными вершинами исходного треугольника, то три таких прямые пересекутся в одной точке, лежащих на гиперболе Киперта. В частности, на этой гиперболе лежат точки Торричелли и точки Наполеона (точки пересечения чевиан, соединяющие вершины с центрами построенных на противоположных сторонах правильных треугольников).

Гипербола Енжабека Гипербола Енжабека — описанная гипербола, проходящая через ортоцентр и точку Лемуана. На ней лежит центр описанной окружности.

Гипербола Фейербаха и точка Фейербаха Гипербола Фейербаха — описанная гипербола, проходящая через ортоцентр и центр вписанной окружности. Её центр лежит в точке Фейербаха. Подерные и чевианные окружности точек на гиперболе Фейербаха проходят через точку Фейербаха. В частности, через точку Фейербаха проходит окружность, проведённая через основания биссектрис.

Коника девяти точек

Коника девяти точек полного четырёхугольника — это коническое сечение, проходящее через три диагональные точки и шесть середин сторон полного четырёхугольника. На рис. показана коника Бохера для четырех точек полного четырёхугольника как три вершины треугольника и одну независимую точку: Пусть задан треугольник ABC и точка P на плоскости. Коническое сечение можно провести через следующие девять точек: середины сторон треугольника ABC, середины отрезков, соединяющих P с вершинами треугольника, точки, где эти прямые, проходящие через P и вершины треугольника, пересекают стороны треугольника. Знаменитая окружность девяти точек - это пример коники Бохера.

Кубики

Каталог кубик треугольника () - это онлайн-ресурс, содержащий подробную информацию о более, чем 1200 кубических кривых в плоскости опорного треугольника. Ресурс поддерживается Бернардом Гилбертом ( Bernard Gilbert). Каждой кубике в ресурсе присваивается уникальный идентификационный номер вида "Knnn", где "nnn" обозначает три цифры. Идентификационный номер первой записи в каталоге - "K001", который является кубикой Нойберга опорного треугольника ABC. Каталог содержит, среди прочего, следующую информацию о каждой из перечисленных ниже кубик: Барицентрическое уравнение кривой Список центров треугольников, которые лежат на кривой Особые точки на кривой, которые не являются центрами треугольников Геометрические свойства кривой Свойства локуса кривой Другие специальные свойства кривой Другие кривые, связанные с кубической кривой Множество аккуратных и аккуратных фигур, иллюстрирующих различные свойства Ссылки на литературу по кривой