Японская теорема о вписанном четырёхугольнике утверждает, что центры окружностей, вписанных в определённые треугольники внутри вписанного в окружность четырёхугольника, являются вершинами прямоугольника.
Разбиение произвольного вписанного четырёхугольника диагоналями даёт четыре перекрывающих друг друга треугольника каждая диагональ создаёт два треугольника). Центры вписанных в эти треугольники окружностей образуют прямоугольник.
В частности, пусть — произвольный вписанный четырёхугольник и пусть , , , — центры вписанных в треугольники , , , окружностей. Тогда четырёхугольник, образованный центрами , , , , является прямоугольником. Доказательство
(поскольку является биссектрисой угла , а является биссектрисой угла )
Аналогично получаем
Поскольку четырёхугольник вписанный, имеем , откуда следует, что четырёхугольник тоже вписан в окружность, так что получаем
Аналогично получаем
А следовательно,
Тем же самым способом доказываем для других углов. Получаем, что все четыре угла четырёхугольника прямые. Теорема доказана
Заметим, что доказательство этой теоремы легко обобщается до доказательства японской теоремы о вписанных многоугольниках (Japanese theorem for cyclic polygons).
Из случая четырёхугольника немедленно вытекает доказательство для общего вписанного многоугольника (по индукции по числу треугольников в разбиении многоугольника).
Замечание 1 Для вписанного четырёхугольника японская теорема о вписанном четырёхугольнике является составной частью более сложного утверждения: Во вписанном четырёхугольнике ABCD центры вписанных окружностей треугольников ABC, BCD, CDA и DAB являются вершинами прямоугольника, ортоцентры тех же четырёх треугольников являются вершинами четырёхугольника, равного ABCD, центроиды этих четырёх треугольников являются вершинами другого вписанного четырёхугольника.
См. также Васан Касательная прямая к окружности Окружность Сангаку Теорема о вписанных окружностях Формула Карно
Литература
Mangho Ahuja, Wataru Uegaki, Kayo Matsushita: In Search of the Japanese Theorem (postscript file) Theorem at Cut-the-Knot Wataru Uegaki: "" (On the Origin and History of the Japanese Theorem). Departmental Bulletin Paper, Mie University Scholarly E-Collections, 2001-03-01 Wilfred Reyes: An Application of Thebault’s Theorem. Forum Geometricorum, Volume 2, 2002, pp. 183–185
Ссылки Japanese theorem, interactive proof with animation
Категория:Планиметрия Категория:Теоремы планиметрии Категория:Японская математика