Теорема о точках плотности — результат теории меры, которой интуитивно можно понимать так, что множество «граничных точек» измеримого множества имеет меру ноль.
Формулировка Обозначим через меру Лебега на евклидовом пространстве . Пусть — измеримое множество. Для произвольной точки и рассмотрим значение , где обозначает шар с центром в и радиусом . Величина может интерпретироваться как приблизительная плотность множества в точке .
Тогда, для почти каждой точки ,
существует и равен 0 или 1.
Замечания Величина , если определена, называется плотностью множества в точке . Другими словами, теорема утверждает, что плотность любого измеримого множества принимает значение 0 или 1 почти всюду в . Если множество и его дополнение имеют положительную меру, то всегда найдутся точки с плотностью не 0 и не 1.
Примеры Например, дан квадрат в плоскости, плотность в каждой точке внутри квадрата равна 1, на сторонах 1/2, в вершинах по 1/4, и 0 вне квадрата; границы и вершины имеют меру ноль.
Вариации и обобщения Теорема о точках плотности является частным случаем .
Литература
Категория:Интегральное исчисление