Локальное поле — локально компактное топологическое поле с недискретной топологией. Наряду с глобальными полями, являющимися пополнениями локальных полей, играют одну из центральных ролей в алгебраической теории чисел. В Математической предметной классификации направления, изучающие локальные поля, объединены в разделе второго уровня с кодом 11Sxx, среди подразделов которого — теория Галуа локальных полей, локальная теория полей классов, локальных полей, -теория локальных полей.
На любом локальном поле можно ввести абсолютную величину такую, что:
для некоторого (а значит и любого) измеримого подмножества с ненулевой конечной мерой Хаара. По свойствам абсолютной величины все локальные поля делятся на архимедовы, то есть те, в которых абсолютное значение архимедово, и неархимедовы. Любое локальное поле изоморфно (как топологическое поле) одному из следующих полей: архимедовы локальные поля (характеристика равна нулю): поле вещественных чисел и поле комплексных чисел ; неархимедовы локальные поля нулевой характеристики: -адические числа и их конечные расширения; неархимедовы локальные поля характеристики : формальные ряды Лорана над конечным полем (все их конечные расширения тоже изоморфны полям того же вида).
Аддитивная группа локального поля, как любая локально компактная топологическая группа, обладает единственной (с точностью до умножения на положительное число) мерой Хаара .
Неархимедовы поля В неархимедовом локальном поле с абсолютной величиной можно определить кольцо целых чисел , которое образует дискретное нормированное кольцо и компактный шар в . Единицы в этом кольце определяются как , они образуют группу и единичную сферу в . Единственный ненулевой простой идеал в кольце целых чисел является открытым единичным шаром , и его образующий элемент называется униформизирующим элементом .
Поле остатков является конечным, поскольку компактно и дискретно. При этом , где — мощность поля остатков .
Каждый ненулевой элемент можно записать как , где — единичный элемент, — целое число, определяемое однозначно по . В частности .
Литература
Категория:Алгебраическая теория чисел Категория:Теория полей