Теорема Зейферта — ван Кампена выражает фундаментальную группу топологического пространства через фундаментальные группы двух открытых подмножеств, покрывающих пространство.
Названа в честь Герберта Зейферта и Эгберта ван Кампена.
Формулировка
Пусть — топологическое пространство, — два линейно связных открытых множества таких, что пересечение также линейно связно, и . Зафиксируем точку . Заметим, что включения
индуцируют гомоморфизмы соответствующих фундаментальных групп , , и . Согласно теореме Зейферта — ван Кампена, эти четыре гомоморфизма определяют кодекартов квадрат в категории групп, то есть
Замечания
Если даны задания групп и
и — образующие группы , то
Следствия
Если пересечение односвязно, то
то есть фундаментальна группа изоморфна свободному произведению фундаментальных групп и . В частности,
для букета связных и локально односвязных пространств и . Пространство односвязно если оно допускает покрытие двумя односвязными открытыми множествами со связным пересечением. Например сферу можно покрыть двумя дисками и , где и обозначают северный и южный полюсы соответственно. Заметим, что пересечение связно. Значит, по теореме Зейферта — ван Кампена фундаментальная группа также тривиальна.
Вариации и обобщения Существует обобщение теоремы для фундаментальных группоидов. Она позволяет работать в случае если не связно. Последовательность Майера — Вьеториса — аналогичная теорема для подсчёта гомологий.
Ссылки
Seifert, H., Konstruction drei dimensionaler geschlossener Raume. Berichte Sachs. Akad. Leipzig, Math.-Phys. Kl. (83) (1931) 26–66. E. R. van Kampen. On the connection between the fundamental groups of some related spaces. American Journal of Mathematics, vol. 55 (1933), pp. 261—267.
Категория:Теория категорий Категория:Теория гомотопий