Числа Ферма́ — числа вида , где ().
При числа Ферма простые и равны .
Пока других простых чисел Ферма не обнаружено, и неизвестно, существуют ли простые числа при или же все прочие числа Ферма — составные.
История Изучение чисел такого вида начал Ферма, который выдвинул гипотезу, что все они простые. Однако эта гипотеза была опровергнута Эйлером в 1732 году, когда тот нашёл разложение числа на простые сомножители: .
Во времена Ферма считалось верным утверждение, что если , то — простое, это утверждение оказалось неверным (был найден контрпример: ), по мнению Тадеуша Банахевича, именно это могло побудить Ферма выдвинуть свою гипотезу, так как утверждение верно при всех .
Простые числа Ферма На 2026 год известны 5 простых чисел Ферма — при
Существование других простых чисел Ферма является открытой проблемой. Известно, что являются составными при .
Свойства Правильный -угольник можно построить с помощью циркуля и линейки тогда и только тогда, когда (), где — различные простые числа Ферма (теорема Гаусса — Ванцеля). Среди чисел вида простыми могут быть только числа Ферма (то есть число n обязано быть степенью 2). Действительно, если у n есть нечётный делитель и , то
и поэтому не является простым. Простоту некоторых чисел Ферма можно эффективно установить с помощью теста Пепина. Однако числа Ферма сильно растут, и этот тест был удачно применён только для 8 чисел, составность которых ранее не была доказана. По мнению Майера, Пападопулоса и Крэндалла, чтобы выполнить тесты Пепина на последующих числах Ферма, понадобится несколько десятилетийRichard E. Crandall, Ernst W. Mayer & Jason S. Papadopoulos (2003), The twenty-fourth Fermat number is composite . Десятичная запись чисел Ферма, больших 5, оканчивается на 17, 37, 57 или 97. Каждый делитель числа при имеет вид (Эйлер, Люка, 1878). Числа Ферма растут очень быстро: 9-е число больше гугола, а 334-е число больше гуголплекса.
Разложение на простые Всего по состоянию на 2025 год найдено 375 простых делителя чисел Ферма. Для 330 чисел Ферма доказано, что они составные, при этом для 2 из них (F20 и F24) до сих пор неизвестно ни одного делителя. Несколько новых делителей чисел Ферма находят каждый год.
Ниже приведено разложение чисел Ферма на простые сомножители, при
Обобщённые числа Ферма Обобщённое число Ферма — число вида . Числа Ферма являются их частным случаем для и
См. также Число Мерсенна
Примечания
Литература
— This book contains an extensive list of references.
Ссылки Леонид Дурман. Гонки по вертикали. Числа Ферма от Эйлера до наших дней: 1, 2, 3 // Компьютерра, 2001, № 393—395. TOP-20 Наибольших делителей чисел Ферма Леонид Дурман, Luigi Morelli. Координирующий проект FERMATSEARCH Wilfrid Keller. Prime Factors of Fermat Numbers
Категория:Классы простых чисел Категория:Теория чисел Категория:Целочисленные последовательности