Укорачивающий поток — процесс, изменяющий гладкую кривую на плоскости путём перемещения её точек перпендикулярно к кривой со скоростью, равной её кривизне.
Укорачивающий поток изучается в основном как простейший пример , в частности позволяет отработать технику для работы с потоком Риччи и с потоком средней кривизны.
Уравнение Однопараметрическое семейство кривых является решением укорачивающего потока, если для любого значения параметра имеем
где — кривизна со знаком кривой в точке и — единичный вектор нормали к кривой в точке .
Свойства
Если начальная кривая простая и замкнутая, то она остаётся таковой под действием укорачивающего потока. Для простой замкнутой кривой укорачивающий поток определён на максимальном интервале . При кривая схлопывается в точку. Площадь ограниченная кривой уменьшается с постоянной скоростью.
В частности, момент схлопывания в точку полностью определён площадью, ограниченной кривой: . Если изначальная кривая не является выпуклой, то её максимальное абсолютное значение кривизны уменьшается монотонно, пока она не станет выпуклой. Для выпуклой кривой изопериметрическое соотношение убывает, и прежде чем пропасть в точке сингулярности, кривая стремится по форме к окружности.Gage, M. E. (1984), «Curve shortening makes convex curves circular», Inventiones Mathematicae 76 (2): 357—364, doi:10.1007/BF01388602 Две непересекающиеся простые гладкие замкнутые кривые остаются непересекающимися, пока одна из них не схлопнулась в точку. Окружность — единственная простая замкнутая кривая, которая сохраняет свою форму в потоке. Некоторые кривые с самопересечениями, а также кривые бесконечной длины, сохраняют форму.
Приложения Укорачивающий поток на сфере даёт одно из доказательств задачи Арнольда о существования хотя бы четырёх точек перегиба у любой гладкой кривой, разрезающей сферу на равновеликие диски.Angenent, Sigurd. «Inflection points, extatic points and curve shortening.» Hamiltonian systems with three or more degrees of freedom. Springer Netherlands, 1999. 3-10.
Примечания
Категория:Дифференциальная геометрия кривых Категория:Дифференциальные уравнения в частных производных