Теорема Робертса о треугольниках утверждает, что среди областей, на которые прямых в общем положении разрезают плоскость, найдётся хотя бы треугольника.
Теорема знаменита простой формулировкой и большим числом ошибочных решений. В частности, Робертс, именем которого названа теорема, дал ошибочное доказательство. Эта задача была решена Шенноном только спустя 90 лет с момента постановки.
Формулировка
Пусть на плоскости даны прямых в общем положении, то есть никакие две не параллельны и никакие три не пересекаются в одной точке. Тогда среди многоугольных областей, на которые эти прямые разрезают плоскость, найдётся хотя бы треугольника.
История Вопрос был сформулирован и решён Робертсом в 1889 году. В 1972 году Бранко Грюнбаум указал на ошибку в доказательстве. В 1979 году Шеннон дал первое доказательство теоремы. В начале 1980-х задача стала популярна в математических кружках СССР. В 1985 году изящное элементарное доказательство, использующее линейную алгебру, дал Алексей Канель-Белов, оно было опубликовано только в 1992. В 1998 году простое чисто комбинаторное доказательство было представлено Штефаном Фелснером и Клаусом Кригелом Их доказательство работает также для конфигураций псевдопрямых.
О доказательствах
Стандартная ошибка заключается в попытке доказать, что при добавление одной прямой к конфигурации увеличивает число треугольников хотя бы на 1, и таким образом доказать теорему индукцией по . Легко доказать, что добавление одной прямой не уменьшает числа треугольников, однако оно не всегда добавляет 1 к их числу.
Идея Канеля-Белова состоит в следующем. Если число треугольников меньше , то по стандартному рассуждению линейной алгебры можно закрепить две прямые и двигать остальные параллельно так, что периметры всех треугольников остаются одинаковыми. При таком движении новых треугольников не образуется, и старые не могут «умереть». Используя такое движение, можно привести конфигурацию прямых к более простому случаю, в котором доказательство несложно.
Идея Фелснерa и Кригелa состоит в следующем. В каждом куске разбиения посадим по цветку на каждую сторону, при которой сумма смежных с ней углов . Заметим что на каждую сторону посажен ровно один цветок, отсюда число цветков равно . Далее в заметим, что в каждом треугольнике ровно три цветка, а в ограниченном многоугольнике, отличном от треугольника, не больше двух цветков. Индукцией по получаем, что число ограниченных многоугольников разбиения равно . Значит, если число треугольников обозначить за , получаем , откуда немедленно следует желанное .
Вариации и обобщения Утверждение остаётся верным если в конфигурации прямых нет параллельных и не все прямые проходят через одну точку. Аналогичная задача на проективной плоскости проще, прямых вырезают хотя бы треугольников. Эта оценка точная при . Доказательство было дано Фридрихом Леви в 1926 году, оно основано на том, что каждая прямая граничит хотя бы с тремя треугольниками. Среди кусков -мерного евклидова пространства, на которые его разбивают гиперплоскостей в общем положении, найдётся хотя бы симплексов.
См. также Задача Кобона о треугольниках Конфигурация прямых
Литература
Категория:Комбинаторная геометрия